自適應濾波器原理-維納濾波

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1、自適應濾波器原理WienerFilters維納簡介20世紀著名數(shù)學家諾伯特·維納，從小就智力超常，三歲時就能讀寫，十四歲時就大學畢業(yè)了。幾年后，他又通過了博士論文答辯，成為美國哈佛大學的科學博士。維納簡介維納在其50年的科學生涯中，先后涉足哲學、數(shù)學、物理學和工程學，最后轉(zhuǎn)向生物學，在各個領域中都取得了豐碩成果，稱得上是恩格斯頌揚過的、本世紀多才多藝和學識淵博的科學巨人。他一生發(fā)表論文240多篇，著作14本。他的主要成果有如下幾個方面：?建立維納測度?引進巴拿赫—維納空間?闡述位勢理論?發(fā)展調(diào)和分析?發(fā)現(xiàn)維納—霍普夫方法?創(chuàng)立控制論維納簡介?提

2、出維納濾波理論在第二次世界大戰(zhàn)期間，為了解決防空火力控制和雷達噪聲濾波問題，維納綜合運用了他以前幾方面的工作，于1942年2月首先給出了從時間序列的過去數(shù)據(jù)推知未來的維納濾波公式，建立了在最小均方誤差準則下利用時間序列進行預測的維納濾波理論。維納的這項工作為設計自動防空控制炮火等方面的預測問題提供了理論依據(jù)，并為評價一個通訊和控制系統(tǒng)加工信息的效率和質(zhì)量從理論上開辟了一條途徑。維納簡介維納在問題中引進統(tǒng)計因素并使用了自相關和互相關函數(shù)，事實證明這是極其重要的。維納濾波模型在50年代被推廣到僅在有限時間區(qū)間內(nèi)進行觀測的平穩(wěn)過程以及某些特殊的外平穩(wěn)

3、過程，其應用范圍也擴充到更多的領域，至今它仍是處理各種動態(tài)數(shù)據(jù)(如氣象、水文、地震勘探等)及預測未來的有力工具之一。共軛梯度與無約束優(yōu)化(附錄B，《矩陣分析與應用》，張賢達)á實值函數(shù)相對于復變量的偏導數(shù)à為復變量的實函數(shù)à和可分別表示為：à函數(shù)對復變量求導(schwarz,1967)共軛梯度與無約束優(yōu)化(附錄B，《矩陣分析與應用》，張賢達)á定理1.若目標函數(shù)是復變量的實值函數(shù)，并且相對于是解析的，則目標函數(shù)的所有穩(wěn)定點可以通過令?f=0*?w求出。共軛梯度與無約束優(yōu)化(附錄B，《矩陣分析與應用》，張賢達)á標量函數(shù)相對于復向量的梯度Tà標量

4、函數(shù)相對于的梯度定義為??ff??f?f?=?f()w=?????ww?ww??w??01M?1?T??ff??f?f?=?f()w=?????ww?ww??w??01M?1?T????ff=?f()w=??f??f?*????w**w??ww?*?w*??01M?1共軛梯度與無約束優(yōu)化(附錄B，《矩陣分析與應用》，張賢達)á向量函數(shù)對復向量求導共軛梯度與無約束優(yōu)化(附錄B，《矩陣分析與應用》，張賢達)一些有用的例子á1.á2.當時當時á3.當時共軛梯度與無約束優(yōu)化(附錄B，《矩陣分析與應用》，張賢達)á定理2.令為復向量的實值函數(shù)，通過將和視

5、為獨立的變元，目標函數(shù)的穩(wěn)定點可由共軛梯度方向給出。Lagrange乘子法（附錄C）á解決帶約束的優(yōu)化問題，如minimizef()wst..c()0w=àw為復向量，為實函數(shù)，為復函數(shù)。f()wc()wá通過lagrange乘子將帶約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為不帶約束的問題，hf()()ww=+λλ12Re()[cw]+Im()[cw]à令，λ=+λλ12j*hf()()Reww=+?λc()w???Lagrange乘子法（附錄C）h()wá最小化即令?ff?*?=w*hc()0ww?+**(Re????λ())=0?ww?á當存在多個約束條件時，m

6、inimizef()ws..tckK()w==0,1,2,?,kK*á則hf()()ww=+∑Re??λkkc()w??，最小化h()w即令k=1??ffK*?=w*hc()0ww?+**∑()Re????λkk()=0??wwk=1維納濾波器-線性最優(yōu)濾波器線性離散時間輸入濾波器輸出-+dn()∑uuu(0),(1),(2),?www,,,?012yn()en()à濾波器的輸入uuu(0),(1),(2),?à濾波器沖激響應（系數(shù)）www012,,,?à濾波器輸出à期望信號à估計誤差維納濾波器-線性最優(yōu)濾波器á濾波器設計的約束條件à線性濾波器

7、à離散時間（沖激響應）á濾波器的設計規(guī)范àIIR(Fig.1.2)還是FIR(Fig.1.3)?à統(tǒng)計優(yōu)化準則：估計誤差的均方值。維納濾波器-線性最優(yōu)濾波器á維納濾波器的設計問題可以歸納為以下統(tǒng)計優(yōu)化問題：à給定一個輸入抽樣序列uuu(0),(1),(2),?，設計一個線性離散濾波器，使得濾波器的輸出yn()和期望信號dn()的2誤差的均方值，即E(())en最小。àMMSE濾波器（minimummeansquareerror）à優(yōu)化問題的兩種數(shù)學解決方案?正交性原理：幾何方法?誤差性能曲面：代數(shù)方法方法1、正交性原理uuu(0),(1),(2

8、),?á濾波器的輸入序列為，濾波器www,,,?的沖擊響應為012，濾波器的輸出為：∞*yn()=?=∑wunkk()n0,1,2,?k=0假定：輸入