自適應(yīng)濾波器原理-維納濾波

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1、自適應(yīng)濾波器原理WienerFilters維納簡介20世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家諾伯特·維納，從小就智力超常，三歲時(shí)就能讀寫，十四歲時(shí)就大學(xué)畢業(yè)了。幾年后，他又通過了博士論文答辯，成為美國哈佛大學(xué)的科學(xué)博士。維納簡介維納在其50年的科學(xué)生涯中，先后涉足哲學(xué)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)和工程學(xué)，最后轉(zhuǎn)向生物學(xué)，在各個(gè)領(lǐng)域中都取得了豐碩成果，稱得上是恩格斯頌揚(yáng)過的、本世紀(jì)多才多藝和學(xué)識淵博的科學(xué)巨人。他一生發(fā)表論文240多篇，著作14本。他的主要成果有如下幾個(gè)方面：?建立維納測度?引進(jìn)巴拿赫—維納空間?闡述位勢理論?發(fā)展調(diào)和分析?發(fā)現(xiàn)維納—霍普夫方法?創(chuàng)立控制論維納簡介?提

2、出維納濾波理論在第二次世界大戰(zhàn)期間，為了解決防空火力控制和雷達(dá)噪聲濾波問題，維納綜合運(yùn)用了他以前幾方面的工作，于1942年2月首先給出了從時(shí)間序列的過去數(shù)據(jù)推知未來的維納濾波公式，建立了在最小均方誤差準(zhǔn)則下利用時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測的維納濾波理論。維納的這項(xiàng)工作為設(shè)計(jì)自動防空控制炮火等方面的預(yù)測問題提供了理論依據(jù)，并為評價(jià)一個(gè)通訊和控制系統(tǒng)加工信息的效率和質(zhì)量從理論上開辟了一條途徑。維納簡介維納在問題中引進(jìn)統(tǒng)計(jì)因素并使用了自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)，事實(shí)證明這是極其重要的。維納濾波模型在50年代被推廣到僅在有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)進(jìn)行觀測的平穩(wěn)過程以及某些特殊的外平穩(wěn)

3、過程，其應(yīng)用范圍也擴(kuò)充到更多的領(lǐng)域，至今它仍是處理各種動態(tài)數(shù)據(jù)(如氣象、水文、地震勘探等)及預(yù)測未來的有力工具之一。共軛梯度與無約束優(yōu)化(附錄B，《矩陣分析與應(yīng)用》，張賢達(dá))á實(shí)值函數(shù)相對于復(fù)變量的偏導(dǎo)數(shù)à為復(fù)變量的實(shí)函數(shù)à和可分別表示為：à函數(shù)對復(fù)變量求導(dǎo)(schwarz,1967)共軛梯度與無約束優(yōu)化(附錄B，《矩陣分析與應(yīng)用》，張賢達(dá))á定理1.若目標(biāo)函數(shù)是復(fù)變量的實(shí)值函數(shù)，并且相對于是解析的，則目標(biāo)函數(shù)的所有穩(wěn)定點(diǎn)可以通過令?f=0*?w求出。共軛梯度與無約束優(yōu)化(附錄B，《矩陣分析與應(yīng)用》，張賢達(dá))á標(biāo)量函數(shù)相對于復(fù)向量的梯度Tà標(biāo)量

4、函數(shù)相對于的梯度定義為??ff??f?f?=?f()w=?????ww?ww??w??01M?1?T??ff??f?f?=?f()w=?????ww?ww??w??01M?1?T????ff=?f()w=??f??f?*????w**w??ww?*?w*??01M?1共軛梯度與無約束優(yōu)化(附錄B，《矩陣分析與應(yīng)用》，張賢達(dá))á向量函數(shù)對復(fù)向量求導(dǎo)共軛梯度與無約束優(yōu)化(附錄B，《矩陣分析與應(yīng)用》，張賢達(dá))一些有用的例子á1.á2.當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)á3.當(dāng)時(shí)共軛梯度與無約束優(yōu)化(附錄B，《矩陣分析與應(yīng)用》，張賢達(dá))á定理2.令為復(fù)向量的實(shí)值函數(shù)，通過將和視

5、為獨(dú)立的變元，目標(biāo)函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)可由共軛梯度方向給出。Lagrange乘子法（附錄C）á解決帶約束的優(yōu)化問題，如minimizef()wst..c()0w=àw為復(fù)向量，為實(shí)函數(shù)，為復(fù)函數(shù)。f()wc()wá通過lagrange乘子將帶約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為不帶約束的問題，hf()()ww=+λλ12Re()[cw]+Im()[cw]à令，λ=+λλ12j*hf()()Reww=+?λc()w???Lagrange乘子法（附錄C）h()wá最小化即令?ff?*?=w*hc()0ww?+**(Re????λ())=0?ww?á當(dāng)存在多個(gè)約束條件時(shí)，m

6、inimizef()ws..tckK()w==0,1,2,?,kK*á則hf()()ww=+∑Re??λkkc()w??，最小化h()w即令k=1??ffK*?=w*hc()0ww?+**∑()Re????λkk()=0??wwk=1維納濾波器-線性最優(yōu)濾波器線性離散時(shí)間輸入濾波器輸出-+dn()∑uuu(0),(1),(2),?www,,,?012yn()en()à濾波器的輸入uuu(0),(1),(2),?à濾波器沖激響應(yīng)（系數(shù)）www012,,,?à濾波器輸出à期望信號à估計(jì)誤差維納濾波器-線性最優(yōu)濾波器á濾波器設(shè)計(jì)的約束條件à線性濾波器

7、à離散時(shí)間（沖激響應(yīng)）á濾波器的設(shè)計(jì)規(guī)范àIIR(Fig.1.2)還是FIR(Fig.1.3)?à統(tǒng)計(jì)優(yōu)化準(zhǔn)則：估計(jì)誤差的均方值。維納濾波器-線性最優(yōu)濾波器á維納濾波器的設(shè)計(jì)問題可以歸納為以下統(tǒng)計(jì)優(yōu)化問題：à給定一個(gè)輸入抽樣序列uuu(0),(1),(2),?，設(shè)計(jì)一個(gè)線性離散濾波器，使得濾波器的輸出yn()和期望信號dn()的2誤差的均方值，即E(())en最小。àMMSE濾波器（minimummeansquareerror）à優(yōu)化問題的兩種數(shù)學(xué)解決方案?正交性原理：幾何方法?誤差性能曲面：代數(shù)方法方法1、正交性原理uuu(0),(1),(2

8、),?á濾波器的輸入序列為，濾波器www,,,?的沖擊響應(yīng)為012，濾波器的輸出為：∞*yn()=?=∑wunkk()n0,1,2,?k=0假定：輸入