求解孿生素?cái)?shù)的方法

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1、求解孿生素?cái)?shù)的方法務(wù)川自治縣實(shí)驗(yàn)學(xué)校王若仲（王洪）貴州564300摘要：對(duì)于自然數(shù)中的素?cái)?shù)而言，確實(shí)沒有通項(xiàng)表達(dá)式，對(duì)于自然數(shù)中的孿生素?cái)?shù)而言，更是沒有通項(xiàng)表達(dá)式，但是我們可以通過一定的表達(dá)式求出一定范圍內(nèi)的所有孿生素?cái)?shù)；還可以通過一定的表達(dá)式判別設(shè)定的兩個(gè)奇數(shù)是不是孿生素?cái)?shù)。關(guān)鍵詞：奇合數(shù)；奇素?cái)?shù)；孿生素?cái)?shù)。我們知道，只能被1和本身整除的正整數(shù)，稱為素?cái)?shù)。如果兩個(gè)奇素?cái)?shù)相差2，則稱這兩個(gè)奇素?cái)?shù)為孿生素?cái)?shù)。定義1：我們把既是奇數(shù)又是合數(shù)的正整數(shù)，稱為奇合數(shù)。定理1：對(duì)于任一比較大的正整數(shù)M，設(shè)奇素?cái)?shù)p1，p2，p3，…，pt均為不大于√M的全體奇素?cái)?shù)（pi＜pj，i＜

2、j，i、j=1，2，3，…，t），那么在區(qū)間[√M，M]中任何一個(gè)奇合數(shù)a，奇合數(shù)a均能被集合{p1，p2，p3，…，pt}中某一個(gè)奇素?cái)?shù)pi（i=1，2，3，…，t）整除。證明：設(shè)奇數(shù)a為區(qū)間[√M，M]中的一個(gè)奇合數(shù)，那么奇數(shù)a總可以分解為兩個(gè)均不小于3的奇數(shù)的乘積，我們?cè)诰唧w分析如下：（1）、當(dāng)M=bc，b≥3，c≥3，如果b=c，b和c均為素?cái)?shù)，那么M=b2=c2；則素?cái)?shù)b不大于√M；（2）、當(dāng)M=bc，b≥3，c≥3，如果b=c，b和c均為奇合數(shù)，那么奇合數(shù)b中必有一個(gè)奇素?cái)?shù)因子q小于√M；（3）、當(dāng)M=bc，b≥3，c≥3，如果b＞c，b和c均為奇合數(shù)，那

3、么奇合數(shù)c中必有一個(gè)奇素?cái)?shù)因子q小于√M；（4）、當(dāng)M=bc，b≥3，c≥3，如果b＞c，b和c均為奇素?cái)?shù)，那么奇素?cái)?shù)c小于√M；（5）、設(shè)奇數(shù)a為區(qū)間[√M，M）中的一個(gè)9第9頁(yè)共9頁(yè)奇合數(shù)，令奇合數(shù)a=bc，b≥3，c≥3，a＜M，如果b=c，b和c均為素?cái)?shù)，那么奇素?cái)?shù)b小于√M奇素?cái)?shù)；（6）、設(shè)奇數(shù)a為區(qū)間[√M，M）中的一個(gè)奇合數(shù)，令奇合數(shù)a=bc，b≥3，c≥3，a＜M，如果b=c，b和c均為奇合數(shù)，那么奇合數(shù)b中必有一個(gè)素?cái)?shù)因子p小于√M；（7）、設(shè)奇數(shù)a為區(qū)間[√M，M）中的一個(gè)奇合數(shù)，令奇合數(shù)a=bc，b≥3，c≥3，a＜M，如果b≠c，b和c中一個(gè)為

4、奇素?cái)?shù)一個(gè)為奇合數(shù)，那么奇數(shù)b和c必為一大一小的奇數(shù)，不妨設(shè)小的一個(gè)奇數(shù)為奇素?cái)?shù)，則小的一個(gè)奇素?cái)?shù)小于√M；（8）、設(shè)奇數(shù)a為區(qū)間[√M，M）中的一個(gè)奇合數(shù)，令奇合數(shù)a=bc，a＜M，如果b≠c，b和c中一個(gè)為奇素?cái)?shù)和一個(gè)為奇合數(shù)，那么奇數(shù)b和c必為一大一小的奇數(shù)，不妨設(shè)大的一個(gè)奇數(shù)為奇素?cái)?shù)，那么小的一個(gè)奇數(shù)必為奇合數(shù)，不妨令小的一個(gè)奇數(shù)為c，則奇合數(shù)c總可以分解為素因子的乘積，其中任何一個(gè)素因子必小于√M。綜上所述，定理1成立。例1：求證奇合數(shù)371能否被3或5或7或11或13或17或19整除。解：因?yàn)?71＜400，所以√371＜√400；√400=20，由定理1

5、可知，奇合數(shù)371能被3或5或7或11或13或17或19整除。371÷3=123×3+2，371÷5=74×5+1，371÷7=53×7。定理2：對(duì)于任一奇數(shù)M（M≥9），設(shè)奇素?cái)?shù)p1，p2，p3，…，pt均為不大于√M的全體奇素?cái)?shù)（pi＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…9第9頁(yè)共9頁(yè)，t），若奇數(shù)M均不能被集合{p1，p2，p3，…，pt}中的任一奇素?cái)?shù)pi（i=1，2，3，…，t）整除，則奇數(shù)M為奇素?cái)?shù)。證明：對(duì)于任一奇數(shù)M（M≥9），設(shè)奇素?cái)?shù)p1，p2，p3，…，pt均為不大于√M的全體奇素?cái)?shù)（pi＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），假若奇數(shù)M是奇

6、合數(shù)，并且奇數(shù)M均不能被集合{p1，p2，p3，…，pt}中的任一奇素?cái)?shù)pi（i=1，2，3，…，t）整除，這與定理1的情形產(chǎn)生矛盾，故定理2成立。例2：判別奇數(shù)391是奇素?cái)?shù)還是奇合數(shù)。解：因?yàn)椤?97＜√400，√400=20，由定理1可知，奇數(shù)391能否被集合{3，5，7，11，13，17，19}中某個(gè)奇素?cái)?shù)整除，可以判別奇數(shù)397是奇素?cái)?shù)還是奇合數(shù)；397÷3=132×3+1，397÷5=79×5+2，397÷7=56×7+5，397÷11=36×11+1，397÷13=30×13+7，397÷17=23×17+6，397÷17=20×19+17，故奇數(shù)397

7、是奇素?cái)?shù)。定理3：設(shè)奇素?cái)?shù)p1，p2，p3，…，pt為從3開始的連續(xù)的奇素?cái)?shù)（pi＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），對(duì)于偶數(shù)2m,偶數(shù)2m不含有奇素?cái)?shù)因子p1，p2，p3，…，pt；設(shè)pt+1為大于奇素?cái)?shù)pt的所有奇素?cái)?shù)中最小的奇素?cái)?shù)。（1）若2m＞p1k1·p2k2·p3k3·…·ptkt，并且2m-p1k1·p2k2·p3k3·…·ptkt＜pt+12，（2m-2）均不能被集合{p1，p2，p3，…，pt}中的任一奇素?cái)?shù)pi（i=1，2，3，…，t）整除，奇數(shù)（2m-2-p1k1·p2k2·p3k3·…·ptkt）＞1，（2m-p1k