阿氏圓作法及應(yīng)用

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1、阿氏圓幾何畫板作法及應(yīng)用我們知道，到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為定值（大于F1F2）的點(diǎn)M的軌跡為橢圓，而距離之差為定值（小于F1F2）的點(diǎn)M的軌跡為雙曲線，那么圓是否有相類似的結(jié)論呢？答案是肯定的，事實(shí)上滿足到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之比為定值t(t>0且t≠1)點(diǎn)M的軌跡為圓，這個(gè)結(jié)論是阿波羅尼(Apollonius，約前260～前190)發(fā)現(xiàn)的，所以往往稱為阿波羅尼圓。但圓的這一性質(zhì)比較“隱晦”，為幫助學(xué)生直觀理解需要我們創(chuàng)設(shè)“所見即所得”的教學(xué)情境，本文以幾何畫板5.0為例談?wù)勗诋嫲瀛h(huán)

2、境中阿波羅尼圓的構(gòu)造方式，并與讀者分享畫板中自定義工具功能的實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用。一、阿波羅尼圓的畫板實(shí)現(xiàn)1.幾何構(gòu)造法實(shí)現(xiàn)阿波羅尼圓步驟1、構(gòu)造一直線上兩點(diǎn)F1、F2，新建參數(shù)t，其初值賦為2；圖1步驟2、度量計(jì)算并標(biāo)記為比值，雙擊點(diǎn)F1標(biāo)記為中心，選中F2按標(biāo)記比值縮放得到點(diǎn)P；步驟3、度量計(jì)算并標(biāo)記為比值，雙擊點(diǎn)F1標(biāo)記為中心，選中F2按標(biāo)記比值縮放得到點(diǎn)得到點(diǎn)Q；步驟4、構(gòu)造線段PQ并構(gòu)造線段PQ的中點(diǎn)C，以C為圓心以P為圓上一點(diǎn)構(gòu)造圓C。試試效果如何？取圓C上任意一點(diǎn)M構(gòu)造線段MF1、MF2

3、，并先后選中兩線段度量比值，拖動(dòng)點(diǎn)M會(huì)發(fā)現(xiàn)比值不變并且與參數(shù)t值恒相等（如圖1所示）。圖22.解析構(gòu)造法實(shí)現(xiàn)阿波羅尼圓步驟1、在x軸上任取兩點(diǎn)F1、F2，度量其橫坐標(biāo)將標(biāo)簽分別設(shè)為x1、x2，新建參數(shù)t初值賦為3；步驟2、計(jì)算，選中后點(diǎn)擊〖繪圖〗菜單中的〖在軸上繪制點(diǎn)〗命令，在彈出窗口中選擇“繪制”按紐得到點(diǎn)P；步驟3、計(jì)算，重復(fù)步驟2可得到點(diǎn)Q；步驟4、同方法一，以PQ為直徑構(gòu)造圓C。我們也可仿照方法一驗(yàn)證效果（如圖2所示）。3.實(shí)現(xiàn)方法構(gòu)造詳解及比較圖3從以上構(gòu)造過程我們可以發(fā)現(xiàn)，確實(shí)阿波羅尼

4、圓關(guān)鍵在于找到圓與直線F1F2的交點(diǎn)P、Q（因?yàn)閳AC以PQ為直徑）。事實(shí)上，P、Q兩點(diǎn)一個(gè)在線段F1F2內(nèi)一個(gè)在線段F1F2外，于是這兩個(gè)點(diǎn)便稱為圓的內(nèi)分點(diǎn)、外分點(diǎn)；更進(jìn)一步地，如果參數(shù)t>1，則Q點(diǎn)在F1F2的延長線上，此時(shí)圓C偏向F2一側(cè)；如果0

5、法一將點(diǎn)F2以F1為中心進(jìn)行放縮屬于幾何構(gòu)造，而放縮比例分別確定為、卻是考慮到的緣故；方法二則是解析法計(jì)算，為將問題簡化，我們將F1、F2限定在了x軸上，設(shè)F1(x1,0)、F2(x2,0)、P(x,0)，由可得從而，這樣便可確定點(diǎn)P，同理可得到點(diǎn)Q。兩種構(gòu)造方法本質(zhì)上是一致的，都用到了定比分點(diǎn)公式，相比較而言方法一略顯繁瑣。二、自定義工具的創(chuàng)設(shè)及應(yīng)用1．自定義工具的創(chuàng)設(shè)以方法1為例，先后選中參數(shù)值t、點(diǎn)F1、點(diǎn)F2和圓C，點(diǎn)擊工具欄中的自定義工具選項(xiàng)，彈出窗口中選擇創(chuàng)建新工具（如圖3所示）

6、；在彈出“新建工具”窗口的〖工具名稱〗中輸入“阿波羅尼圓”點(diǎn)擊確實(shí)即可。如果在“新建工具”窗口中勾選顯示腳本視圖（如圖4所示），我們會(huì)發(fā)現(xiàn)“阿波羅尼圓”工具的先決條件為度量結(jié)果t、點(diǎn)F1、F2，只要給定這三個(gè)先決條件便可得到相應(yīng)的阿波羅尼圓C，簡而言之相當(dāng)于由條件“度量結(jié)果t、點(diǎn)F1、F2”便可得到結(jié)論“圓C”。需要強(qiáng)調(diào)的是：一方面創(chuàng)設(shè)工具時(shí)要關(guān)注F1、F2的選中的先后順序，如果順序錯(cuò)了得到的結(jié)果就“南轅北轍”了；另一方面如果在創(chuàng)建工具過程中同時(shí)選中“點(diǎn)C、線段MF1、線段MF2”的話，圖4

7、圖5我們會(huì)發(fā)現(xiàn)結(jié)論中也多了相應(yīng)的結(jié)果，讀者不妨一試；同時(shí)，對(duì)于方法二的構(gòu)造而言，因?yàn)闃?gòu)造過程中依賴于坐標(biāo)系，所以在創(chuàng)新工具時(shí)選擇對(duì)象應(yīng)包括坐標(biāo)軸，這樣需要選中軸x、軸y、參數(shù)值t、點(diǎn)F1、點(diǎn)F2和圓C，但在“腳本視圖”中出現(xiàn)的先決條件只有“軸y、軸x、度量結(jié)果t”（如圖5所示），究其原因在于在工具的操作步驟中畫板將點(diǎn)F1、F2設(shè)置為自由點(diǎn)了。2．自定義工具的應(yīng)用舉例案例（2009年江蘇高考第18題的推廣）：圓C1和圓C2的半徑分別為r1、r2，則平面上存在兩個(gè)點(diǎn)P滿足：過點(diǎn)P有無窮多對(duì)夾角為的直

8、線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長比值為。步驟1、構(gòu)造線段r1、r2，點(diǎn)C1、點(diǎn)C2；以C1為圓心r1為半徑構(gòu)造圓C1，同理得到圓C2，度量r1與r2的線段長的比值并將標(biāo)簽修改為t；圖6圖7步驟2、點(diǎn)擊工具欄中的自定義工具選項(xiàng)，選中自定義工具“阿波羅尼圓”，先后選中比值t及點(diǎn)C1、點(diǎn)C2，得到相應(yīng)的阿波羅尼圓M；步驟3、以C1C2為直徑構(gòu)造圓N，構(gòu)造圓M與圓N的交點(diǎn)P1、P2（這便是我們要找尋的定點(diǎn)，如