概率統(tǒng)計相關(guān)知識

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1、隨機變量及其分布隨機變量的統(tǒng)計特征參數(shù)估計假設(shè)檢驗預(yù)備知識——概率論與數(shù)理統(tǒng)計離散型隨機變量及其分布隨機變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機變量及其概率密度隨機變量的函數(shù)的分布第一節(jié)——隨機變量及其分布離散型隨機變量分布律的定義離散型隨機變量表示方法幾種常見分布小結(jié)1.1離散型隨機變量及其分布律從中任取3個球取到的白球數(shù)X是一個隨機變量.(1)X可能取的值是0,1,2;(2)取每個值的概率為:看一個例子一、離散型隨機變量分布律的定義定義1：某些隨機變量X的所有可能取值是有限多個或可列無限多個,這種隨機變量稱為

2、離散型隨機變量.其中(k=1,2,…)滿足：k=1,2,…（1）（2）定義2：設(shè)xk(k=1,2,…)是離散型隨機變量X所取的一切可能值，稱為離散型隨機變量X的分布律.用這兩條性質(zhì)判斷一個函數(shù)是否是分布律解:依據(jù)分布律的性質(zhì)P(X=k)≥0,a≥0,從中解得即例2設(shè)隨機變量X的分布律為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)a.二、離散型隨機變量表示方法（1）公式法（2）列表法或例3某籃球運動員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨立投籃投中次數(shù)X的概率分布.解：X可取值為0,1,2;P{X=0}=(0.1)(

3、0.1)=0.01P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81常常表示為：這就是X的分布律.例4某射手連續(xù)向一目標射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是p，求所需射擊發(fā)數(shù)X的分布律.解:顯然，X可能取的值是1,2,…，P{X=1}=P(A1)=p,為計算P{X=k}，k=1,2,…，Ak={第k發(fā)命中}，k=1,2,…，設(shè)于是可見這就是求所需射擊發(fā)數(shù)X的分布律.例5一汽車沿一街道行駛，需要通過三個均設(shè)有紅綠信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其它信號

4、燈為紅或綠相互獨立，且紅綠兩種信號燈顯示的時間相等.以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)，求X的分布律.解:依題意,X可取值0,1,2,3.P{X=0}=P(A1)=1/2,Ai={第i個路口遇紅燈},i=1,2,3設(shè)路口3路口2路口1P{X=1}=P()=1/4P{X=2}=P()=1/8X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)路口3路口2路口1路口3路口2路口1=1/8P(X=3)=P()路口3路口2路口1即X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)設(shè)隨機變量X只可能取0與1兩

5、個值,它的分布律為則稱X服從(0-1)分布或兩點分布.1.兩點分布三、幾種常見分布例6“拋硬幣”試驗,觀察正、反兩面情況.隨機變量X服從(0—1)分布.其分布律為例7200件產(chǎn)品中,有190件合格品,10件不合格品,現(xiàn)從中隨機抽取一件,那末,若規(guī)定取得不合格品,取得合格品.則隨機變量X服從(0—1)分布.兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩種可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點分布.說明2.等可能分布如果隨機變量X的分布律為例拋擲骰子并記出現(xiàn)的

6、點數(shù)為隨機變量X,則有看一個試驗將一枚均勻骰子拋擲3次.X的分布律是：3.伯努利試驗和二項分布令X表示3次中出現(xiàn)“4”點的次數(shù)擲骰子：“擲出4點”，“未擲出4點”抽驗產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”一般地，設(shè)在一次試驗E中我們只考慮兩個互逆的結(jié)果：A或.這樣的試驗E稱為伯努利試驗.“重復”是指這n次試驗中P(A)=p保持不變.將伯努利試驗E獨立地重復地進行n次,則稱這一串重復的獨立試驗為n重伯努利試驗.“獨立”是指各次試驗的結(jié)果互不影響.用X表示n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則且兩兩互不相容.易證

7、：（1）（2）稱這樣的分布為二項分布.記為二項分布兩點分布二項分布的圖形例8已知100個產(chǎn)品中有5個次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個，求在所取的3個中恰有2個次品的概率.解:因為這是有放回地取3次，因此這3次試驗的條件完全相同且獨立，它是貝努里試驗.依題意，每次試驗取到次品的概率為0.05.設(shè)X為所取的3個中的次品數(shù)，于是，所求概率為：則X~b(3,0.05)，若將本例中的“有放回”改為”無放回”,那么各次試驗條件就不同了,此試驗就不是伯努利試驗.此時,只能用古典概型求解.請注意：伯努利試

8、驗對試驗結(jié)果沒有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次試驗條件相同；二項分布描述的是n重伯努利試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)X的分布律.（2）每次試驗只考慮兩個互逆結(jié)果A或，（3）各次試驗相互獨立.可以簡單地說，且P(A)=p，；例9某類燈泡使用時數(shù)在1000小時以上的概率是0.2，求三個燈泡在使用1000小時以后最多只有一個壞了的概率.解:設(shè)X為三個燈泡在使用1000小時已壞的燈泡數(shù).X~b(3,0.8)，把觀察一個燈泡的使用時數(shù)看作一次試驗,“使用到1000小時已壞”視為事件A.每次試