概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)

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1、隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)預(yù)備知識(shí)——概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)離散型隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度隨機(jī)變量的函數(shù)的分布第一節(jié)——隨機(jī)變量及其分布離散型隨機(jī)變量分布律的定義離散型隨機(jī)變量表示方法幾種常見(jiàn)分布小結(jié)1.1離散型隨機(jī)變量及其分布律從中任取3個(gè)球取到的白球數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量.(1)X可能取的值是0,1,2;(2)取每個(gè)值的概率為:看一個(gè)例子一、離散型隨機(jī)變量分布律的定義定義1：某些隨機(jī)變量X的所有可能取值是有限多個(gè)或可列無(wú)限多個(gè),這種隨機(jī)變量稱(chēng)為

2、離散型隨機(jī)變量.其中(k=1,2,…)滿足：k=1,2,…（1）（2）定義2：設(shè)xk(k=1,2,…)是離散型隨機(jī)變量X所取的一切可能值，稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量X的分布律.用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)函數(shù)是否是分布律解:依據(jù)分布律的性質(zhì)P(X=k)≥0,a≥0,從中解得即例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)a.二、離散型隨機(jī)變量表示方法（1）公式法（2）列表法或例3某籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X的概率分布.解：X可取值為0,1,2;P{X=0}=(0.1)(

3、0.1)=0.01P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81常常表示為：這就是X的分布律.例4某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是p，求所需射擊發(fā)數(shù)X的分布律.解:顯然，X可能取的值是1,2,…，P{X=1}=P(A1)=p,為計(jì)算P{X=k}，k=1,2,…，Ak={第k發(fā)命中}，k=1,2,…，設(shè)于是可見(jiàn)這就是求所需射擊發(fā)數(shù)X的分布律.例5一汽車(chē)沿一街道行駛，需要通過(guò)三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其它信號(hào)

4、燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號(hào)燈顯示的時(shí)間相等.以X表示該汽車(chē)首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù)，求X的分布律.解:依題意,X可取值0,1,2,3.P{X=0}=P(A1)=1/2,Ai={第i個(gè)路口遇紅燈},i=1,2,3設(shè)路口3路口2路口1P{X=1}=P()=1/4P{X=2}=P()=1/8X表示該汽車(chē)首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù)路口3路口2路口1路口3路口2路口1=1/8P(X=3)=P()路口3路口2路口1即X表示該汽車(chē)首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù)設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩

5、個(gè)值,它的分布律為則稱(chēng)X服從(0-1)分布或兩點(diǎn)分布.1.兩點(diǎn)分布三、幾種常見(jiàn)分布例6“拋硬幣”試驗(yàn),觀察正、反兩面情況.隨機(jī)變量X服從(0—1)分布.其分布律為例7200件產(chǎn)品中,有190件合格品,10件不合格品,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件,那末,若規(guī)定取得不合格品,取得合格品.則隨機(jī)變量X服從(0—1)分布.兩點(diǎn)分布是最簡(jiǎn)單的一種分布,任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點(diǎn)分布.說(shuō)明2.等可能分布如果隨機(jī)變量X的分布律為例拋擲骰子并記出現(xiàn)的

6、點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量X,則有看一個(gè)試驗(yàn)將一枚均勻骰子拋擲3次.X的分布律是：3.伯努利試驗(yàn)和二項(xiàng)分布令X表示3次中出現(xiàn)“4”點(diǎn)的次數(shù)擲骰子：“擲出4點(diǎn)”，“未擲出4點(diǎn)”抽驗(yàn)產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”一般地，設(shè)在一次試驗(yàn)E中我們只考慮兩個(gè)互逆的結(jié)果：A或.這樣的試驗(yàn)E稱(chēng)為伯努利試驗(yàn).“重復(fù)”是指這n次試驗(yàn)中P(A)=p保持不變.將伯努利試驗(yàn)E獨(dú)立地重復(fù)地進(jìn)行n次,則稱(chēng)這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn).“獨(dú)立”是指各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響.用X表示n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則且兩兩互不相容.易證

7、：（1）（2）稱(chēng)這樣的分布為二項(xiàng)分布.記為二項(xiàng)分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布的圖形例8已知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個(gè)，求在所取的3個(gè)中恰有2個(gè)次品的概率.解:因?yàn)檫@是有放回地取3次，因此這3次試驗(yàn)的條件完全相同且獨(dú)立，它是貝努里試驗(yàn).依題意，每次試驗(yàn)取到次品的概率為0.05.設(shè)X為所取的3個(gè)中的次品數(shù)，于是，所求概率為：則X~b(3,0.05)，若將本例中的“有放回”改為”無(wú)放回”,那么各次試驗(yàn)條件就不同了,此試驗(yàn)就不是伯努利試驗(yàn).此時(shí),只能用古典概型求解.請(qǐng)注意：伯努利試

8、驗(yàn)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果沒(méi)有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次試驗(yàn)條件相同；二項(xiàng)分布描述的是n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)X的分布律.（2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果A或，（3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立.可以簡(jiǎn)單地說(shuō)，且P(A)=p，；例9某類(lèi)燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率是0.2，求三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)以后最多只有一個(gè)壞了的概率.解:設(shè)X為三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)已壞的燈泡數(shù).X~b(3,0.8)，把觀察一個(gè)燈泡的使用時(shí)數(shù)看作一次試驗(yàn),“使用到1000小時(shí)已壞”視為事件A.每次試