空間直角坐標(biāo)系與空間向量典型例題

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1、空間直角坐標(biāo)系與空間向量一、建立空間直角坐標(biāo)系的幾種方法構(gòu)建原則：遵循對(duì)稱性，盡可能多的讓點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上。作法：充分利用圖形中的垂直關(guān)系或構(gòu)造垂直關(guān)系來建立空間直角坐標(biāo)系．類型舉例如下：（一）用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標(biāo)系　　例1　已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A為直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，求異面直線BC1與DC所成角的余弦值．　　解析：如圖1，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C1（０，1

2、，2）、B（2，4，０），　　∴，．　　設(shè)與所成的角為，　　則．（二）利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系例2　如圖2，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，E為棱CC1上異于C、C1的一點(diǎn)，EA⊥EB1．已知，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝．求二面角A－EB1－A1的平面角的正切值．　　解析：如圖2，以B為原點(diǎn)，分別以BB1、BA所在直線為y軸、z軸，過B點(diǎn)垂直于平面AB1的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系．　　由于BC＝1，BB1＝2，AB＝，∠BCC1＝，　　∴在三棱柱ABC－A1B1C1中，有B（０，

3、０，０）、A（０，０，）、B1（０，2，０）、、．設(shè)且，9　　由EA⊥EB1，得，　　即，∴，　　即或（舍去）．故．　　由已知有，，故二面角A－EB1－A1的平面角的大小為向量與的夾角．　　因，故，即（三）利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系　　例3　如圖3，在四棱錐V－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．　?。?）證明AB⊥平面VAD；　?。?）求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值．　　解析：（1）取AD的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AD＝2，則A（1，０

4、，０）、D（－1，０，０）、B（1，2，０）、V（０，０，），∴＝（０，2，０），＝（1，０，－）．　　由，得　　AB⊥VA．又AB⊥AD，從而AB與平面VAD內(nèi)兩條相交直線VA、AD都垂直，∴AB⊥平面VAD；　　（2）設(shè)E為DV的中點(diǎn)，則9　　∴，，．　　∴，　　∴EB⊥DV．　　又EA⊥DV，因此∠AEB是所求二面角的平面角．　　∴．故所求二面角的余弦值為．（四）利用正棱錐的中心與高所在直線構(gòu)建直角坐標(biāo)系　　例4　已知正四棱錐V－ABCD中，E為VC中點(diǎn)，正四棱錐底面邊長為2a，高為h．　?。?）求∠DEB的余弦值

5、；　?。?）若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值．　　解析：（1）如圖4，以V在平面AC的射影O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，其中Ox∥BC，Oy∥AB，則由AB＝2a，OV＝h，有B（a，a，０）、C（-a，a，０）、D（-a，-a，０）、V（0，0，h）、　　∴，．　　∴，　　即；（2）因?yàn)镋是VC的中點(diǎn)，又BE⊥VC，所以，即，9∴，∴．這時(shí)，即．引入空間向量坐標(biāo)運(yùn)算，使解立體幾何問題避免了傳統(tǒng)方法進(jìn)行繁瑣的空間分析，只需建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行向量運(yùn)算，而如何建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，成為用向量解題的關(guān)鍵步驟之一．下面以高考考

6、題為例，剖析建立空間直角坐標(biāo)系的三條途徑．（五）利用圖形中的對(duì)稱關(guān)系建立坐標(biāo)系圖形中雖沒有明顯交于一點(diǎn)的三條直線，但有一定對(duì)稱關(guān)系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身對(duì)稱性可建立空間直角坐標(biāo)系．例5已知兩個(gè)正四棱錐P－ABCD與Q－ABCD的高都為2，AB＝4．（1）證明：PQ⊥平面ABCD；（2）求異面直線AQ與PB所成的角；（3）求點(diǎn)P到面QAD的距離．簡解：（1）略；（2）由題設(shè)知，ABCD是正方形，且AC⊥BD．由（1），PQ⊥平面ABCD，故可分別以直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖1），易得，．　　所

7、求異面直線所成的角是．（3）由（2）知，點(diǎn)設(shè)n=（x，y，z）是平面QAD的一個(gè)法向量，則得取x＝1，得．點(diǎn)P到平面QAD的距離．　　點(diǎn)評(píng)：利用圖形所具備的對(duì)稱性，建立空間直角坐標(biāo)系后，相關(guān)點(diǎn)與向量的坐標(biāo)應(yīng)容易得出．第（3）問也可用“等體積法”求距離．9二、向量法解立體幾何（一）知識(shí)點(diǎn)向量的數(shù)量積和坐標(biāo)運(yùn)算是兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，則數(shù)叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即其幾何意義是的長度與在的方向上的投影的乘積.其坐標(biāo)運(yùn)算是：若，則①；②；③④（二）例題講解題型：求角度相關(guān)1.異面直線所成的角圖1分別在直線上取定向量

8、則異面直線所成的角等于向量所成的角或其補(bǔ)角（如圖1所示），則2.直線與平面所成的角圖2在上取定，求平面的法向量（如圖2所示），再求，則為所求的角.3．二面角圖3甲方法一：構(gòu)造二面角的兩個(gè)半平面的法向量（都取向上的方向，如圖3所示），則9①若二面角是“鈍角型”的如圖3甲所示，那么其大小等于兩法向量圖3乙的夾角的補(bǔ)角，即