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《概率論與數(shù)理統(tǒng)計第4章隨機變量的數(shù)字特征》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第4章隨機變量的數(shù)字特征4.1隨機變量的數(shù)學(xué)期望4.2方差4.3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)、矩第四章隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的概率分布能夠完整地描述隨機變量的概率性質(zhì).但是這還不足以給人留下直觀的總體印象.有時不需要去全面考察隨機變量的整體變化情況，只需知道隨機變量的某些統(tǒng)計特征就可以了．例如，在檢查一批棉花的質(zhì)量時，只需要注意纖維的平均長度，以及纖維長度與平均長度的偏離程度．再如，在評定一批燈泡的質(zhì)量時，主要看這批燈泡的平均壽命和燈泡壽命相對于平均壽命的偏差．從這兩個例子可以看到，某些與隨機變量有關(guān)的數(shù)字，雖然不能完整地描述隨機變量，但卻可
2、以概括描述它在某些方面的特征．這些能代表隨機變量主要特征的數(shù)字，稱為隨機變量的數(shù)字特征．本章介紹隨機變量的幾個常用數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)．第四章隨機變量的數(shù)字特征【分賭本問題】1654年法國有個職業(yè)賭徒DeMéré向數(shù)學(xué)家Pascal提出了一個使他苦惱了很久的問題：甲乙兩人各出賭注50法郎進(jìn)行賭博，約定誰先贏3局，就贏得全部的100法郎，假定兩人賭技相當(dāng)，且每局無平局．如果當(dāng)甲贏了兩局，乙贏了一局時，因故要中止賭局，問如何分100法郎的賭注才算公平？第四章隨機變量的數(shù)字特征4.1隨機變量的數(shù)學(xué)期望4.1.1數(shù)學(xué)期望
3、的概念1.離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望【引例】某年級有100名學(xué)生，17歲的有20人，18歲的有30人，19歲的有50人，則該年級學(xué)生的平均年齡為事實上,平均年齡是以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均值．4.1.1數(shù)學(xué)期望的概念【例4.1】（擲骰子游戲）規(guī)定擲出1點得1分；擲出2點或3點得2分；擲出4點、或5點、或6點得4分,共擲n次.投擲一次所得的分?jǐn)?shù)X是一個隨機變量.則X的分布律為試問：預(yù)期平均投擲一次能得多少分？解：若在n次投擲中，得1分的共n1次，得2分的共n2次，得4分的共n3次,則平均投擲一次得分為：X124pi1/62/63/6隨機變量X
4、的以概率為權(quán)重的加權(quán)平均值4.1.1數(shù)學(xué)期望的概念對于一般的離散型隨機變量，有如下定義：定義4.1設(shè)離散型隨機變量X的分布律為P{X=xi}=pi，i=1，2，…．若級數(shù)絕對收斂，則其稱為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望或均值．記為E(X)或EX，即若級數(shù)發(fā)散，則稱隨機變量X的數(shù)學(xué)期望不存在．4.1.1數(shù)學(xué)期望的概念說明：(1)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)是一個常量，它是從概率的角度來計算隨機變量X所有可能取值的平均值，具有重要的統(tǒng)計意義．(2)級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不隨級數(shù)各項次序的改變而改變．4.1.1數(shù)學(xué)期望的概念【例4.2】某一彩
5、票中心發(fā)行彩票10萬張，每張2元．設(shè)頭等獎1個，獎金1萬元，二等獎2個，獎金各5千元；三等獎10個，獎金各1千元；四等獎100個，獎金各100元；五等獎1000個，獎金各10元．每張彩票的成本費為0.3元，請計算彩票發(fā)行單位的創(chuàng)收利潤．解：設(shè)每張彩票中獎的數(shù)額為隨機變量X，則有其中p0=1–(1/105+2/105+10/105+100/105+1000/105)?0.98887X1000050001000100100pi1/1052/10510/105100/1051000/105p04.1.1數(shù)學(xué)期望的概念每張彩票平均能得到的獎金
6、為:每張彩票平均可賺：2–0.5–0.3=1.2(元)，彩票發(fā)行單位發(fā)行10萬張彩票的創(chuàng)收利潤為:100000?1.2=120000(元)．4.1.1數(shù)學(xué)期望的概念【例4.3】設(shè)隨機變量X服從二項分布B(n，p)，求它的數(shù)學(xué)期望．解：由于,k=0,1,2,…,n．因而4.1.1數(shù)學(xué)期望的概念【例4.4】設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為?（?>0）的泊松分布，求它的數(shù)學(xué)期望．解：由于，k=0，1，2，…，因而4.1.1數(shù)學(xué)期望的概念2.連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望定義4.2設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)，若積分絕對收斂，則稱其為X的數(shù)學(xué)期望或
7、均值．記為E(X)或EX，即若積分不收斂,則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在.4.1.1數(shù)學(xué)期望的概念著名的柯西分布是數(shù)學(xué)期望不存在的經(jīng)典例子：設(shè)隨機變量X服從柯西分布，其概率密度為由于積分發(fā)散，因而E(X)不存在．4.1.1數(shù)學(xué)期望的概念【例4.5】某種化合物的pH值X是一個隨機變量，它的概率密度是求pH值X的數(shù)學(xué)期望E(X).解：4.1.1數(shù)學(xué)期望的概念幾個常用連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望都是存在的，下面來計算它們的數(shù)學(xué)期望．【例4.6】設(shè)隨機變量X服從(a，b)上的均勻分布，求E(X)．解：由于均勻分布的概率密度為4.1.1數(shù)學(xué)期望的概念【例4
8、.7】設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為?（?>0）的指數(shù)分布，求E(X)．解：由于指數(shù)分布的概率密度為因而4.1.2隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望在實際中,我們常需求隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.如果我們知道X的概率分布，如何計算X的某個函數(shù)Y
