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1、第十二章動量矩定理質點和質點系的動量矩動量矩定理剛體繞定軸轉動的微分方程第十二章動量矩定理實際問題引言引言均質輪受外力作用而繞其質心O作定軸轉動，它有角速度和角加速度。輪的動量：外力的矢量和為：這個問題不能用動量定理來描述輪繞其質心作定軸轉動的運動。引言1質點的動量矩質點Q的動量對于點O的矩，定義為質點對于點O的動量矩，是矢量12.1質點和質點系的動量矩xyzqOmvMO(mv)Mz(mv)r質點動量mv在oxy平面內的投影(mv)xy對于點O的矩，定義為質點動量對于z軸的矩，簡稱對于z軸的動量矩，是代數(shù)量類似于力對點之矩和力對軸之矩的關系，質點
2、對點O的動量矩矢在z軸上的投影，等于對z的動量矩。在國際單位制中，動量矩的單位是kg·m2/s。方向：是代數(shù)量，它的正負可以通過右手定則判斷；即：手心握轉動軸（坐標軸），四指的指向為質點動量的方向，大拇指指向為該動量矩的方向，若方向與坐標軸正向相同為正、相反為負。12.1質點和質點系的動量矩或：從坐標軸正向看去，逆時針為正、順時針為負。質點系對某點O的動量矩等于各質點對同一點O的動量矩的矢量和。2質點系的動量矩質點系對某軸z的動量矩等于各質點對同一z軸的動量矩的代數(shù)和。質點系對某點O的動量矩矢在通過該點的z軸上的投影，等于質點系對該軸的動量矩。1
3、2.1質點和質點系的動量矩3平動剛體的動量矩剛體平移時，可將全部質量集中于質心，作為一個質點計算其動量矩。對軸的：對點的：12.1質點和質點系的動量矩4定軸轉動剛體對轉動軸的動量矩令Jz＝Σmiri2稱為剛體對z軸的轉動慣量,于是得即：繞定軸轉動剛體對其轉軸的動量矩等于剛體對轉軸的轉動慣量與轉動角速度的乘積。12.1質點和質點系的動量矩例1均質圓盤可繞軸O轉動，其上纏有一繩，繩下端吊一重物A。若圓盤對轉軸O的轉動慣量為J，半徑為r，角速度為w，重物A的質量為m，并設繩與原盤間無相對滑動，求系統(tǒng)對軸O的動量矩。解：LO的轉向沿逆時針方向。12.1質
4、點和質點系的動量矩平面運動剛體對垂直與其質量對稱平面內任一固定軸的動量矩為：即：其對z軸的動量矩等于剛體隨質心作平移時的動量對該軸的動量矩，與其繞過質心的軸作定軸轉動時對該軸的動量矩之和。5平面運動剛體的動量矩12.1質點和質點系的動量矩剛體對軸z的轉動慣量定義為：剛體上所有質點的質量與該質點到軸z的垂直距離的平方乘積的算術和。即對于質量連續(xù)分布的剛體，上式可寫成積分形式由定義可知，轉動慣量不僅與質量有關，而且與質量的分布有關；在國際單位制中，轉動慣量的單位是:kg·m2。同一剛體對不同軸的轉動慣量是不同的，而它對某定軸的轉動慣量卻是常數(shù)。因此在
5、談及轉動慣量時，必須指明它是對哪一軸的轉動慣量。6剛體對軸的轉動慣量12.1質點和質點系的動量矩1.均質細桿z1dxxxCzdxxxOl設均質細桿長l，質量為m，取微段dx,則一、簡單形狀剛體的轉動慣量12.1質點和質點系的動量矩2.均質薄圓環(huán)對于中心軸的轉動慣量設細圓環(huán)的質量為m，半徑為R。則3.均質圓板對于中心軸的轉動慣量設圓板的質量為m，半徑為R。將圓板分為無數(shù)同心的薄圓環(huán)，任一圓環(huán)的質量為dm＝ρ·2πrdr(ρ＝m/πR2),于是圓板轉動慣量為12.1質點和質點系的動量矩在工程上常用回轉半徑來計算剛體的轉動慣量，其定義為如果已知回轉半徑
6、，則物體的轉動慣量為回轉半徑的幾何意義是：假想地將物體的質量集中到一點處，并保持物體對軸的轉動慣量不變，則該點到軸的距離就等于回轉半徑的長度。對于幾何形狀相同的均質物體，其回轉半徑相同。二、回轉半徑(慣性半徑)12.1質點和質點系的動量矩定理：剛體對于任一軸的轉動慣量，等于剛體對于通過質心、并與該軸平行的軸的轉動慣量，加上剛體的質量與兩軸間距離平方的乘積，即三、平行移軸定理由定理可知：剛體對于所有平行軸的轉動慣量，過質心軸的轉動慣量最小。12.1質點和質點系的動量矩例2如圖所示，已知均質桿的質量為m，對z1軸的轉動慣量為J1，求桿對z2的轉動慣量
7、J2。解：由，得(2)－(1)得zz1z2abC12.1質點和質點系的動量矩例3均質直角折桿尺寸如圖，其質量為3m，求其對軸O的轉動慣量。解：12.1質點和質點系的動量矩圓盤對過其質心軸的轉動慣量：桿對過點O的軸的轉動慣量，用平行移軸定理求得：12.1質點和質點系的動量矩例4求對軸O的轉動慣量一、質點的動量矩定理質點對某定點的動量矩對時間的一階導數(shù)，等于作用力對同一點的矩。12.2動量矩定理將上式投影在直角坐標軸上，并將對點的動量矩與對軸的動量矩的關系代入，得質點對某固定軸的動量矩對時間的一階導數(shù)等于質點所受的力對同一軸的矩12.2動量矩定理設質
8、點系內有n個質點，作用于每個質點的力分為外力Fi(e)和內力Fi(i)。由質點的動量矩定理有這樣的方程共有n個，相加后得由于內力總是成對
