建立方程定解條件.ppt

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1、§1建立方程、定解條件方程的導出定解條件和定解問題變分原理分離變量法1.方程的導出本章研究調(diào)和方程（又稱拉普拉斯方程）以及泊松方程的基本定解問題及解的性質(zhì)。(1.1)(1.2)(1)引力位勢經(jīng)計算可得：直接計算可得：還可進一步驗證：(2)靜電場的電位勢應(yīng)用高斯公式，上式可改寫為：由區(qū)域G的任意性得：靜電場方程由于靜電場是無旋場，因而存在電勢u，從而靜電場的電勢u應(yīng)當滿足泊松方程如果靜電場的某一區(qū)域里沒有電荷，即ρ=0，則靜電場方程在該區(qū)域上簡化為拉普拉斯方程(3)穩(wěn)定溫度分布2.定解條件和定解問題(1)第一邊值問題（Dirichlet問題）(2)第二邊值問題（Neumann問題）(

2、3)Dirichlet外問題(4)Neumann外問題注：當考慮外問題時，為保證解的唯一性，還需對解在無窮遠的狀況加以限制。在三維情形，通常要求：其它邊界條件(5)第三類邊界條件(6)等值面邊界條件（總流量邊界條件）3.變分原理膜的平衡問題：外力作功－＝總位能應(yīng)變能即：(1)問題2的解答：(3)(5)(4)即4.分離變量法求解Laplace方程(1)矩形區(qū)域上Laplace方程的第一邊值問題代入方程(1)得：分離變量：由此得X，Y滿足得常微分方程：由邊界條件(2)知：得固有值問題：解之得：通解為其中Ak，Bk為任意常數(shù)。因此是滿足方程(1)和邊界條件(2)的解。疊加所有的Uk，即代

3、入邊界條件(3)，得：由傅里葉正弦展式的系數(shù)公式得解得：(2)圓形區(qū)域上Laplace方程的第一邊值問題(3)(4)即：由此得R，Θ滿足得常微分方程：由周期性條件(4)得:固有值問題的討論：得固有值問題：(5)(6)因此是滿足方程(1)和自然邊界條件(3)以及周期性條件(4)的解。由疊加原理，滿足(1)(3)(4)的解可表為：代入邊界條件(2)得：故代入級數(shù)得：證明(3)圓形區(qū)域上熱傳導方程的混合問題即：于是有：由(2)知：另有自然邊界條件：得偏微分方程固有值問題：即：于是：