拉格朗日函數(shù)的可加性.doc

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1、拉格朗日函數(shù)的可加性假設力學系統(tǒng)由A和B兩部分組成，且每一部分都是封閉的，因而分別有拉格朗日函數(shù)若兩部分相距很遠，以至于它們之間的相互作用可以忽略不計時，整個系統(tǒng)的總動能和勢能分別趨向極限因而系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)趨向極限此即拉格朗日函數(shù)的可加性。于是，在拉格朗日方程組中，A和B兩個部分的變量完全分開。可見，拉格朗日函數(shù)的可加性意味著，在沒有相互作用的系統(tǒng)中，任一部分的運動方程不可能包含另一部分的量。另一方面，由拉格朗日方程可以看出，將拉格朗日函數(shù)乘以一個任意常量，不會改變運動微分方程。這似乎會導致一種不確定性：各個孤立系統(tǒng)（例如上面提到的系統(tǒng)A

2、和B）的拉格朗日函數(shù)可以乘以不同的任意常量，分別得到、。但是，拉格朗日函數(shù)的可加性消除了這種不確定性。按拉格朗日函數(shù)的可加性要求，有上式意味著：不同系統(tǒng)所乘以的任意常量、應具有相同的量綱，從而或者為無量綱的量，否則不滿足拉格朗日函數(shù)的可加性要求，即拉格朗日函數(shù)的可加性只允許所有力學系統(tǒng)都乘以同一個任意常量。例子：由兩個相距甚遠的單個自由質(zhì)點（兩質(zhì)點間相互作用可以忽略不計）組成的質(zhì)點系，對于每個自由質(zhì)點來說，通過對稱性和伽利略相對性原理得到其拉格朗日函數(shù)的形式為（C為常量），且取，此時m具有質(zhì)量的物理意義。對于質(zhì)點系，根據(jù)拉格朗日函數(shù)的可加性，

3、系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)為，即代表不同質(zhì)點的質(zhì)量之間的比例關(guān)系，這一比例關(guān)系是具有實際物理意義的，和應具有相同的量綱。由以上討論，我們還可以看到，拉格朗日函數(shù)的可加性要求只允許所有力學系統(tǒng)都乘以同一個任意常量，這樣拉格朗日函數(shù)的可加性就消除了拉格朗日方程中拉格朗日函數(shù)的不確定性。