橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

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1、橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程自己收集整理的錯(cuò)誤在所難免僅供參考交流如有錯(cuò)誤請(qǐng)指正！謝謝橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程　一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)使學(xué)生理解橢圓的定義掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及標(biāo)準(zhǔn)方程．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)通過對(duì)橢圓概念的引入與標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生分析探索能力增強(qiáng)運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力．(三)學(xué)科滲透點(diǎn)通過對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)的教學(xué)可以提高對(duì)各種知識(shí)的綜合運(yùn)用能力．二、教材分析1．重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(解決辦法：用模型演示橢圓再給出橢圓的定義最后加以強(qiáng)調(diào)；對(duì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程單獨(dú)列出加以比較．)2．難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．(解決辦法：推導(dǎo)分4步

2、完成每步重點(diǎn)講解關(guān)鍵步驟加以補(bǔ)充說明．)3．疑點(diǎn)：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因．(解決辦法：分三種情況說明動(dòng)點(diǎn)的軌跡．)三、活動(dòng)設(shè)計(jì)提問、演示、講授、詳細(xì)講授、演板、分析講解、學(xué)生口答．四、教學(xué)過程(一)橢圓概念的引入前面大家學(xué)習(xí)了曲線的方程等概念哪一位同學(xué)回答：問題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個(gè)步驟必不可少？對(duì)上述問題學(xué)生的回答基本正確否則教師給予糾正．這樣便于學(xué)生溫故而知新在已有知識(shí)基礎(chǔ)上去探求新知識(shí)．提出這一問題以便說明標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)中一個(gè)同解變形．問題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的

3、探索？一般學(xué)生能回答："平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓"．對(duì)同學(xué)提出的軌跡命題如："到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．""到兩定點(diǎn)距離平方差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．""到兩定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．"教師要加以肯定以鼓勵(lì)同學(xué)們的探索精神．比如說若同學(xué)們提出了"到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡"那么動(dòng)點(diǎn)軌跡是什么呢？這時(shí)教師示范引導(dǎo)學(xué)生繪圖：取一條一定長的細(xì)繩把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(diǎn)(如圖2-13)當(dāng)繩長大于F1和F2的距離時(shí)用鉛筆尖把繩子拉緊使筆尖在圖板上慢慢移動(dòng)就可以畫出一個(gè)橢圓．教師進(jìn)一步追問："橢圓在哪些地方見過？

4、"有的同學(xué)說："立體幾何中圓的直觀圖．"有的同學(xué)說："人造衛(wèi)星運(yùn)行軌道"等......在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生概括橢圓的定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于

5、F1F2

6、)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距．學(xué)生開始只強(qiáng)調(diào)主要幾何特征--到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個(gè)方面加以強(qiáng)調(diào)：(1)將穿有鉛筆的細(xì)線拉到圖板平面外得到的不是橢圓而是橢球形使學(xué)生認(rèn)識(shí)到需加限制條件："在平面內(nèi)"．(2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學(xué)生注意：若常數(shù)=

7、F1F2

8、則是線段F1F2；若常數(shù)＜

9、F1

10、F2

11、則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓還必須加上限制條件："此常數(shù)大于

12、F1F2

13、"．(二)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)1．標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)由橢圓的定義可以知道它的基本幾何特征但對(duì)橢圓還具有哪些性質(zhì)我們還一無所知所以需要用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程．如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟可分：(1)建系設(shè)點(diǎn)；(2)列式；(3)代入；(4)化簡；（5）求證(1)建系設(shè)點(diǎn)建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡單和優(yōu)化的原則如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達(dá)式簡單化注意充分利用圖形的對(duì)稱性使學(xué)生認(rèn)識(shí)到下列選取方法是恰當(dāng)?shù)模詢啥c(diǎn)F1、F2的直線為x軸線段F1F2的垂直平

14、分線為y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖2-14)．設(shè)

15、F1F2

16、=2c(c＞0)M(xy)為橢圓上任意一點(diǎn)則有F1(-10)F2(c0)．(2)列式由定義不難得出橢圓集合為：P={M

17、

18、MF1

19、+

20、MF2

21、=2a｝．(3)代入(4)化簡方程化簡方程可請(qǐng)一個(gè)反映比較快、書寫比較規(guī)范的同學(xué)板演其余同學(xué)在下面完成教師巡視適當(dāng)給予提示：①原方程要移項(xiàng)平方否則化簡相當(dāng)復(fù)雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明．整理后再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②為使方程對(duì)稱和諧而引入b同時(shí)b還有幾何意義下節(jié)課還要(a＞b＞0)．關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程因教材

22、中對(duì)此要求不高可從略．示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)是F1(-c0)、F2(c0)．這里c2=a2-b2．2．兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)0)、F2(c0)這里c2=a2-b2；-c)、F2(0c)這里c2=a2+b2只須將(1)方程的x、y互換即可得到．教師指出：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中∵a2＞b2∴可以根據(jù)分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上．　　（3）兩種方程的統(tǒng)一形式可歸納為：Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B)(三)例題與練習(xí)例題　平面內(nèi)兩定點(diǎn)的距離是8寫出到這兩定點(diǎn)的距離的和是10的點(diǎn)的軌跡的方程．分析：先根據(jù)題意判斷軌跡再建立直角坐標(biāo)

23、系采用待定系數(shù)法得出軌跡方程．解：這個(gè)軌跡是一個(gè)橢圓兩個(gè)定點(diǎn)是焦點(diǎn)用F1、F2表示．取過點(diǎn)F1