橢圓及其標準方程

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1、學科：數(shù)學教學內(nèi)容：橢圓及其標準方程【基礎(chǔ)知識精講】1.橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于｜F1F2｜)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距.注意：定義中的常數(shù)用2a表示，｜F1F2｜用2c表示，當2a＞2c＞0時，軌跡為橢圓，當2a=2c時，軌跡為線段F1F2；當2a＜2c時，無軌跡.這樣，橢圓軌跡一定要有2a＞2c這一條件.另外，應(yīng)用定義來求橢圓方程或解題時，往往比較簡便.2.橢圓的標準方程當焦點在x軸上時：+=1(a＞b＞0)當焦點在y軸上時：+=1(a＞b＞0)注意：(1)三個量之間的關(guān)系：a2=b2+c2(2)由x2,y2

2、的分母大小確定焦點在哪條坐標軸上，x2的分母大，焦點就在x軸上，y2的分母大，焦點就在y軸上.(3)在方程Ax2+By2=C中，只有A、B、C同號時，才可能表示橢圓方程.(4)當且僅當橢圓的中心在原點，其焦點在坐標軸上時，橢圓的方程才具有標準形式.本節(jié)學習方法：1.求橢圓方程常用待定系數(shù)法，定義法，參數(shù)法，軌跡法等.2.利用橢圓的定義和標準方程解決有關(guān)問題，一般都轉(zhuǎn)化成某些數(shù)值的確定，而這些數(shù)值的確定可通過列方程，解方程去解決.【重點難點解析】同學們學習“橢圓”應(yīng)與學習“圓”一樣，遵循漸近性，邏輯性.注重數(shù)形結(jié)合，主要掌握橢圓的定義及其標準方程，需要大家學習本節(jié)時，先復習求曲線方程的方法，進

3、行反復的再思考，再分析再理解.例1求與橢圓+=1共焦點，且過點M(3，-2)的橢圓方程.解法一：(待定系數(shù)法)由已知橢圓方程+=1得C2=9-4=5，且焦點在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為+=1又∵點M(3，-2)在橢圓上∴+=1，得a4-18a2+45=0∴a2=15或a2=3＜5=C2(舍)∴所求橢圓方程為+=1解法二：(定義法)橢圓兩焦點為F1(-，0)，F(xiàn)2(，0)，點M(3，-2)到這兩個焦點距離之和是2a，即2a=｜M1F1｜+｜M1F2｜=+=2∴a2=15b2=a2-c2=15-5=10∴所求橢圓方程為+=1例2已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點P1(，1)，P2(

4、-，-)，求橢圓的方程.解：設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1,(m＞0，n＞0)由題意有解得m=，n=∴所求橢圓方程為+=1說明：設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)可免討論焦點的位置，而且計算簡便.例3已知點P在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為和，過P作焦點所在軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程.解：設(shè)兩個焦點為F1F2，且｜PF1｜=，｜PF2｜=由橢圓定義知2a=｜PF1｜+｜PF2｜=2∴a=而｜PF1｜＞｜PF2｜知PF2與焦點所在的對稱軸垂直.∴Rt△PF2F1中，sin∠PF1F2==∴∠PF1F2=2C=｜PF1｜cos=∴b2=a2-c2=

5、故所求方程為+y2=1或x2+=13.(代入法)與橢圓有關(guān)的軌跡問題：常用的方法有定義法，坐標轉(zhuǎn)移法，交軌法，點差法.例4已知圓C1：x2+y2+4x-12=0與圓C2:x2+y2-4x=0，動圓C與C1相內(nèi)切，且與C2相外切，求動圓圓心的軌跡方程.解：圓C1與C2的標準方程是(x+2)2+y2=16，(x-2)2+y2=4圓心分別為C1(-2，0)，C2(2，0)設(shè)動圓P的圓心為P，半徑為r，有｜PC1｜=4-r,｜PC2｜=2+r∴｜PC1｜+｜PC2｜=6＞｜C1C2｜=4∴P點在橢圓上運動，又2a=6，2c=4，∴b2=a2-c2=5∴P的軌跡為+=1(在已知圓C1內(nèi))【難題巧解點撥

6、】例1已知MN是橢圓+=1(a＞b＞0)中垂直于長軸的動弦，AB是橢圓長軸的兩端點，求直線MA與NB的交點P的軌跡方程.解：設(shè)M、N的坐標為M(x0,y0)，N(x0,-y0)，又A(-a,0),B(a,0)所以直線AM的方程為y=(x+a)①直線BN的方程為：y=②①×②得：y2=(x2-a2)③∵點M(x0,y0)在橢圓上，∴b2x2y2b2∴x2=-y02,代入得③得：y2=(x2-a2)∴交點P的軌跡方程為-=1例2已知橢圓+y2=1(1)求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程(2)過A(2，1)引橢圓的割線，求截得的弦中點軌跡方程(3)求過點P(，)，且被P平分的弦所在的直線方程.解：(

7、點差法)設(shè)弦的兩端點分別為M(x1,y1)N(x2,y2)、MN的中點為P(x,y)，則x21+2y21=2，x22+2y22=2,兩式相減并除以(x2-x1)得：x1+x2+2(y1+y2)=0而x1+x2=2x,y1+y2=2y∴x+2y·=0(*)(1)將=2代入(*)式得所求的軌跡方程為x+4y=0(橢圓內(nèi)部分)(2)將=代入(*)式，得所求的軌跡方程為x2+2y2-2x-2y=0(橢圓內(nèi)部分)(3)