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《抽象函數(shù)周期性探究》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、抽象函數(shù)周期性的探究廈門六中黃東梅抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式,只給出它的一些特征、性質(zhì)或一些特殊關(guān)系式的函數(shù)，所以做抽象函數(shù)的題目需要有嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力以及函數(shù)知識靈活運用的能力.而在教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)同學(xué)們對于抽象函數(shù)周期性的判定和運用比較困難,所以特探究一下抽象函數(shù)的周期性問題.利用周期函數(shù)的周期求解函數(shù)問題是基本的方法.此類問題的解決應(yīng)注意到周期函數(shù)定義、緊扣函數(shù)圖象特征，尋找函數(shù)的周期，從而解決問題.以下給出幾個命題：命題1：若a是非零常數(shù)，對于函數(shù)y=f(x)定義域的一切x，滿足下列條件之一，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù).（1）函數(shù)y=f(x)滿足f(x+
2、a)=－f(x)，則f(x)是周期函數(shù)，且2a是它的一個周期.（2）函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)=，則f(x)是周期函數(shù)，且2a是它的一個周期.（3）函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)+f(x)=1，則f(x)是周期函數(shù)，且2a是它的一個周期.命題2：若a、b()是非零常數(shù)，對于函數(shù)y=f(x)定義域的一切x，滿足下列條件之一，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù).(1)函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)=f(x+b)，則f(x)是周期函數(shù)，且
3、a-b
4、是它的一個周期.(2)函數(shù)圖象關(guān)于兩條直線x=a，x=b對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且2
5、a-b
6、是它的一個周期.(3)函數(shù)圖象關(guān)于點
7、M(a,0)和點N(b,0)對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且2
8、a-b
9、是它的一個周期.(4)函數(shù)圖象關(guān)于直線x=a，及點M(b,0)對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且4
10、a-b
11、是它的一個周期.命題3：若a是非零常數(shù)，對于函數(shù)y=f(x)定義域的一切x，滿足下列條件之一，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù).（1）若f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)是周期函數(shù)，且2a是它的一個周期.（2）若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)是周期函數(shù)，且4a是它的一個周期.我們也可以把命題3看成命題2的特例,命題3中函數(shù)奇偶性、對稱性
12、與周期性中已知其中的任兩個條件可推出剩余一個.下面證明命題3（1），其他命題的證明基本類似.設(shè)條件A:定義在R上的函數(shù)f(x)是一個偶函數(shù).條件B:f(x)關(guān)于x=a對稱條件C:f(x)是周期函數(shù),且2a是其一個周期.結(jié)論:已知其中的任兩個條件可推出剩余一個.證明:①已知A、B→C（2001年全國高考第22題第二問）9∵f(x)是R上的偶函數(shù)∴f(-x)=f(x)又∵f(x)關(guān)于x=a對稱∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函數(shù),且2a是它的一個周期②已知A、C→B∵定義在R上的函數(shù)f(x)是一個偶函數(shù)∴f(-x)=f(x)又∵2a是f(x)一個周期∴
13、f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)關(guān)于x=a對稱③已知C、B→A∵f(x)關(guān)于x=a對稱∴f(-x)=f(x+2a)又∵2a是f(x)一個周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x)∴f(x)是R上的偶函數(shù)由命題3(2)，我們還可以得到結(jié)論:f(x)是周期為T的奇函數(shù)，則f()=0基于上述命題闡述，可以發(fā)現(xiàn)，抽象函數(shù)具有某些關(guān)系.根據(jù)上述命題，我們易得函數(shù)周期，從而解決問題，以下探究上述命題在解決抽象函數(shù)問題中的運用.1.求函數(shù)值例1：f(x)是R上的奇函數(shù)f(x)=－f(x+4)，x∈[0，2]時f(x)=x，求f(2007)的值解：方法一∵f(x
14、)=－f(x+4)∴f(x+8)=－f(x+4)=f(x)∴8是f(x)的一個周期∴f(2007)=f(251×8-1)=f(-1)=－f(1)=－1方法二∵f(x)=－f(x+4)，f(x)是奇函數(shù)∴f(-x)=f(x+4)∴f(x)關(guān)于x=2對稱又∵f(x)是奇函數(shù)∴8是f(x)的一個周期，以下與方法一相同.例2：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009)的值解：由條件知f(x)1，故類比命題1可知，函數(shù)f(x)的周期為8，故f(2009)=f(251×8+1)=f(1)=22.求函數(shù)解析式例3：已知f(x)是定
15、義在R上的偶函數(shù)，f(x)=f(4-x)，且當(dāng)時，f(x)=－2x+1，則當(dāng)時求f(x)的解析式解：當(dāng)時∴f(－x)=2x+19∵f(x)是偶函數(shù)∴f(－x)=f(x)∴f(x)=2x+1當(dāng)時∴f(－4+x)=2(－4+x)+1=2x－7又函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)=f(4-x)，類比命題3（1）知函數(shù)f(x)的周期為4故f(-4+x)=f(x)∴當(dāng)時求f(x)=2x－73.判斷函數(shù)的奇偶性例4：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，
