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《抽象函數(shù)周期性的探究》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。
1、抽象函數(shù)周期性的探究廈門六中黃東梅抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式,只給出它的一些特征、性質(zhì)或一些特殊關(guān)系式的函數(shù)，所以做抽象函數(shù)的題目需要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力以及函數(shù)知識(shí)靈活運(yùn)用的能力.而在教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)同學(xué)們對(duì)于抽象函數(shù)周期性的判定和運(yùn)用比較困難,所以特探究一下抽象函數(shù)的周期性問題.利用周期函數(shù)的周期求解函數(shù)問題是基本的方法.此類問題的解決應(yīng)注意到周期函數(shù)定義、緊扣函數(shù)圖象特征，尋找函數(shù)的周期，從而解決問題.以下給出幾個(gè)命題：命題1：若a是非零常數(shù)，對(duì)于函數(shù)y=f(x)定義域的一切x
2、，滿足下列條件之一，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù).（1）函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)=－f(x)，則f(x)是周期函數(shù)，且2a是它的一個(gè)周期.（2）函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)=，則f(x)是周期函數(shù)，且2a是它的一個(gè)周期.（3）函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)+f(x)=1，則f(x)是周期函數(shù)，且2a是它的一個(gè)周期.命題2：若a、b()是非零常數(shù)，對(duì)于函數(shù)y=f(x)定義域的一切x，滿足下列條件之一，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù).(1)函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)=f(x+b)，則f(x
3、)是周期函數(shù)，且
4、a-b
5、是它的一個(gè)周期.(2)函數(shù)圖象關(guān)于兩條直線x=a，x=b對(duì)稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且2
6、a-b
7、是它的一個(gè)周期.(3)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)M(a,0)和點(diǎn)N(b,0)對(duì)稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且2
8、a-b
9、是它的一個(gè)周期.(4)函數(shù)圖象關(guān)于直線x=a，及點(diǎn)M(b,0)對(duì)稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且4
10、a-b
11、是它的一個(gè)周期.命題3：若a是非零常數(shù)，對(duì)于函數(shù)y=f(x)定義域的一切x，滿足下列條件之一，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù).（1）若f(x)是定義在R
12、上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，且2a是它的一個(gè)周期.（2）若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，且4a是它的一個(gè)周期.我們也可以把命題3看成命題2的特例,命題3中函數(shù)奇偶性、對(duì)稱性與周期性中已知其中的任兩個(gè)條件可推出剩余一個(gè).下面證明命題3（1），其他命題的證明基本類似.設(shè)條件A:定義在R上的函數(shù)f(x)是一個(gè)偶函數(shù).條件B:f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱條件C:f(x)是周期函數(shù),且2a是其一個(gè)周期.結(jié)論:已知其中的任兩個(gè)條件可推出剩余一
13、個(gè).證明:①已知A、B→C（2001年全國高考第22題第二問）4∵f(x)是R上的偶函數(shù)∴f(-x)=f(x)又∵f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函數(shù),且2a是它的一個(gè)周期②已知A、C→B∵定義在R上的函數(shù)f(x)是一個(gè)偶函數(shù)∴f(-x)=f(x)又∵2a是f(x)一個(gè)周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱③已知C、B→A∵f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱∴f(-x)=f(x+2a)又∵2a是f(x)一個(gè)周期∴
14、f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x)∴f(x)是R上的偶函數(shù)由命題3(2)，我們還可以得到結(jié)論:f(x)是周期為T的奇函數(shù)，則f()=0基于上述命題闡述，可以發(fā)現(xiàn)，抽象函數(shù)具有某些關(guān)系.根據(jù)上述命題，我們易得函數(shù)周期，從而解決問題，以下探究上述命題在解決抽象函數(shù)問題中的運(yùn)用.1.求函數(shù)值例1：f(x)是R上的奇函數(shù)f(x)=－f(x+4)，x∈[0，2]時(shí)f(x)=x，求f(2007)的值解：方法一∵f(x)=－f(x+4)∴f(x+8)=－f(x+4)=f(x)∴8是f(x)的一個(gè)周期∴f(
15、2007)=f(251×8-1)=f(-1)=－f(1)=－1方法二∵f(x)=－f(x+4)，f(x)是奇函數(shù)∴f(-x)=f(x+4)∴f(x)關(guān)于x=2對(duì)稱又∵f(x)是奇函數(shù)∴8是f(x)的一個(gè)周期，以下與方法一相同.例2：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009)的值解：由條件知f(x)1，故類比命題1可知，函數(shù)f(x)的周期為8，故f(2009)=f(251×8+1)=f(1)=22.求函數(shù)解析式例3：已知f(x)是定義在
16、R上的偶函數(shù)，f(x)=f(4-x)，且當(dāng)時(shí)，f(x)=－2x+1，則當(dāng)時(shí)求f(x)的解析式解：當(dāng)時(shí)∴f(－x)=2x+14∵f(x)是偶函數(shù)∴f(－x)=f(x)∴f(x)=2x+1當(dāng)時(shí)∴f(－4+x)=2(－4+x)+1=2x－7又函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)=f(4-x)，類比命題3（1）知函數(shù)f(x)的周期為4故f(-4+x)=f(x)∴當(dāng)時(shí)求f(x)=2x－73.判斷函數(shù)的奇偶性例4：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，
