抽象函數(shù)的周期性探析

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1、抽象函數(shù)的周期性探析　　【摘要】抽象函數(shù)是一些沒有給出具體解析式的函數(shù)，因而比較抽象，難以理解，本文總結(jié)了抽象函數(shù)的周期性與遞推式、對稱性、奇偶性的幾個常見的結(jié)論.　　【關(guān)鍵詞】抽象函數(shù)；周期函數(shù)；遞推式；對稱性；奇偶性　　抽象函數(shù)是相對于具體函數(shù)而言的，它沒有給出具體的函數(shù)解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征或性質(zhì)的式子的一類函數(shù).因為抽象，難以理解，它是高中數(shù)學函數(shù)部分的難點，所以解抽象函數(shù)的題目需要有嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰?、抽象思維能力以及函數(shù)基本知識靈活運用的能力.　　近幾年高考中也常出現(xiàn)涉及抽象函數(shù)的題目，大多考查的是

2、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性和周期性.而在實際教學中學生對于抽象函數(shù)周期性的判定和運用比較困難，所以本文嘗試歸結(jié)抽象函數(shù)的周期性問題的幾個常見的結(jié)論并給予簡單的證明，并通過幾個例題說明簡單的應用，供大家參考.　　一、三個結(jié)論　　結(jié)論1（遞推式與周期關(guān)系結(jié)論）　?。?）若f（x+a）=f（x+b），則T=

3、a-b

4、；{∵f[x+（a-b）]=f[（x-b）+a]=f[（x-b）+b]=f（x）}　?。?）若f（x+a）=-1f（x），則T=2

5、a

6、；{∵f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-1f（x+a）=f（x）}6　

7、?。?）若f（x+a）=-f（x），則T=2

8、a

9、；{∵f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-f（x+a）=f（x）}　?。?）若f（x+a）=1+f（x）1-f（x），則T=4

10、a

11、.　　{∵f（x+2a）=f[（x+a）+a]=1+f（x+a）1-f（x+a）=1+1+f（x）1-f（x）1-1+f（x）1-f（x）=1-f（x）+1+f（x）1-f（x）-1-f（x）=2-2f（x）=-1f（x），　　∴f（x+4a）=f[（x+2a）+2a]=-1f（x+2a）=f（x）}　　結(jié)論2（對稱性與周期關(guān)系結(jié)論）　　

12、（1）若f（x）關(guān)于x=a及x=b對稱，則T=2

13、b-a

14、；　　證明：∵f（x）關(guān)于直線x=a和x=b對稱，　　∴f（x）=f（2a-x），x∈R，f（x）=f（2b-x），x∈R，∴f（2a-x）=f（2b-x），x∈R，　　將上式的-x以x代換得f（2a+x）=f（2b+x），x∈R，　　∴f[x+2（b-a）]=f[（x-2a）+2b]=f[（x-2a）+2a]=f（x），x∈R.　　∴f（x）是R上的周期函數(shù)，且2a-b是它的一個周期.　　（2）f（x）關(guān)于x=b及Ma，0對稱，則T=4

15、b-a

16、；　　證明：∵f

17、（x）關(guān)于點M（a，0）對稱，f（2a-x）=-f（x），x∈R，　　∵f（x）關(guān)于直線x=b對稱，∴f（x）=f（2b-x），x∈R，　　∴f（2b-x）=-f（2a-x），x∈R，　　將上式中的-x以x代換，得f（2b+x）=-f（2a+x），x∈R，　　∴f[x+4（b-a）]=f[2b+（x+2b-4a）]=-f[2a+（x+2b-4a）]=-f[2b+（x-2a）]=f[2a+（x-2a）]=f（x），x∈R.6　　∴f（x）是R上的周期函數(shù)且4b-a是它的一個周期.　?。?）f（x）關(guān)于點Ma，0和Nb，0對

18、稱，則T=2

19、b-a

20、.　　證明：∵f（x）關(guān)于M（a，0），N（b，0）對稱，　　∴f（2a-x）=-f（x），x∈R；且f（2b-x）=-f（x），x∈R.　　∴f（2a-x）=f（2b-x），x∈R，　　將上式中的-x以x代換，得f（2a+x）=f（2b+x），x∈R，　　∴f[x+2（b-a）]=f[2b+（x-2a）]=f[2a+（x-2a）]=f（x），x∈R.　　∴f（x）是周期函數(shù)且2b-a是它的一個周期.　　結(jié)論3（奇偶性與周期關(guān)系結(jié)論）　?。?）f（x）是偶函數(shù)且關(guān)于直線x=a對稱，則T=2

21、a

22、；　

23、　證明：∵f（x）是偶函數(shù)，故f（x）關(guān)于x=0對稱，又關(guān)于x=a對稱，　　∴由結(jié)論2中的（1）可知周期為T=2a-0=2a.　　（2）f（x）是奇函數(shù)且關(guān)于直線x=a對稱，則T=4

24、a

25、；　　證明：∵f（x）是奇函數(shù)，　　∴f（x）關(guān)于點（0，0）對稱，又∵f（x）關(guān)于x=a對稱，　　∴由結(jié)論2中的（2）可知周期為T=4a-0=4a.　　二、應用舉例　　例1（2001年高考數(shù)學（文科）第22題）設f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線x=1對稱.對任意x1，x2∈[0，12]都有f（x1+x2）=f（x1）?f（

26、x2）.　　（Ⅰ）設f（1）=2，求f12，f14；6　　（Ⅱ）證明f（x）是周期函數(shù).　　分析f（x）是偶函數(shù)的實質(zhì)是f（x）的圖像關(guān)于直線x=0對稱，又f（x）的圖像關(guān)于x=1對稱，由結(jié)論2中的（1）可得f（x）是周期函數(shù).　　解析（Ⅰ）解略.　　（Ⅱ）證明：依題設y=f（x）關(guān)于直線x=1對稱，故f（x）=f（