周期性與抽象函數(shù).ppt

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1、函數(shù)的周期性和抽象函數(shù)1.定義：若對任意的x，都有f(x+T)=f(x)(T≠0),則說函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，T是它的周期；2.若函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=f(x+b),(a>b),則f(x)是以T=a-b為周期的周期函數(shù)；3.若f(x+a)=-f(x),則f(x)是以T＝2a為周期的周期函數(shù)；4.若f(x+a)=b/f(x),則f(x)是以T=2a為周期的周期函數(shù)6.若函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線x=a對稱即f(a+x)=f(a-x),又關(guān)于直線x=b對稱即f(b+x)=f(b-x)(a>b),則f(x)是以T=2a-2b為周期的周期函

2、數(shù).5.若f(x)滿足f(x+a)=[1-f(x)]]/[1+f(x)],則f(x)是以T＝2a為周期的周期函數(shù)7.若f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)則f(x)的圖象關(guān)于直線x=(a+b)/2對稱；特別地，若有f(a+x)=f(a-x),則f(x)的圖象關(guān)于直線x+a對稱.7.若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)M(a,0)和點(diǎn)N(b,0)都成中心對稱，則f(x)是以T=2(a-b)為周期的周期函數(shù).如f(x)=sinx點(diǎn)O(0,0)和點(diǎn)(π,0)對稱,它的周期為2(π-0)=2π注：f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)M(a,0)對稱的條件是f(x)=-f(

3、2a-x)9.熟記函數(shù)y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=Asin(ωx+φ)的周期.8.若函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線x=a對稱即f(x)=f(2a-x),又關(guān)于點(diǎn)M(b,0)對稱,即f(x)=-f(2b-x),則f(x)是以T=4(a-b)為周期的周期函數(shù)如f(x)=sinx關(guān)于x=π/2對稱，又關(guān)于點(diǎn)O(0,0)對稱，它的周期為4(π/2-0)=2π1.已知函數(shù)f(x)的周期為4，且等式f(2+x)=f(2-x)對x∈R均成立，求證：f(x)為偶函數(shù)；2.已知函數(shù)f(x)滿足:f(2+x)=f(2-x)對x∈R均成立，且f(x)

4、為偶函數(shù),求證f(x)是周期函數(shù).3.已知偶函數(shù)f(x)的周期為4，求證：f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱4.設(shè)f(x)是定義在R上以2為周期的函數(shù)，對k∈Z，用Ik表示區(qū)間(2k－1，2k＋1]，已知當(dāng)x∈I0時(shí)，f(x)＝x2.求f(x)在Ik上的解析表達(dá)式已知f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，且0

5、x+2)(D)f(x+3)是奇函數(shù)D1.若函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(y)=f(x+y),則此函數(shù)可以是f(x)=kx;2.若函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(y)=f(x+y)＋m,則此函數(shù)可以是f(x)=kx+b;抽象函數(shù)例1.若函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x,y都滿足f(x)+f(y)=f(x+y),且當(dāng)x>0時(shí)，y>0,證明(1)f(x)是奇函數(shù)；(2)f(x)是增函數(shù)3.若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)且滿足f(x)+f(y)=f(xy),則此函數(shù)可以是f(x)=logax;另：對數(shù)函數(shù)也可這樣給出：f(x)-f(y)=f(x/y)

6、例2.若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)且滿足f(x)+f(y)=f(xy),且x>1時(shí)y>0,證明f(x)是增函數(shù)4.若函數(shù)f(x)滿足f(x)f(y)=f(x+y),且f(x)不恒為0,則此函數(shù)可以是f(x)=ax5.若函數(shù)f(x)滿足f(x)f(y)=f(xy),則此函數(shù)可以是f(x)=xn.另：指數(shù)函數(shù)也可這樣給出：f(x)/f(y)=f(x-y)例3.若函數(shù)f(x)滿足f(x)f(y)=f(x+y),且f(x)不恒為0,且x<0時(shí)，y>1.證明f(x)是減函數(shù)四、練習(xí)題二：5.已知f(x)對任意的實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y)=f

7、(x)+f(y),（1）求證f(x)是奇函數(shù);(2)若f(-3)=a,求f(24);（3）若x>0時(shí)，f(x)<0,且f(1)=-0.5,求f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最大值和最小值.[-3,1]6.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),且對任意正數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),又f(2)=1且x>1時(shí)，f(x)>0;(1)證明f(1)=0;(2)求證:f(x/y)=f(x)-f(y);（3）求f(4)的值；(4)若f(x)+f(x-3)≤2,求x的取值范圍.f(4)=23

8、x)≠0,f(1)=2,x>0時(shí)，f(x)>1，且對任意實(shí)數(shù)x,都有f(x)f(y)=f(x+y),解不等式f(x2)f(4x-2)<8-5