周期性和抽象函數(shù)

《周期性和抽象函數(shù)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。

1、周期性和抽象函數(shù)1．周期函數(shù)：設(shè)函數(shù)，，如存在非零常數(shù)T，使得對(duì)任何，都有，則函數(shù)為周期函數(shù)，T為的一個(gè)周期。(1)y=f(x)對(duì)x∈R時(shí)，f(x+a)=f(x－a)或f(x－2a)=f(x)(a>0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；（2）若y=f(x)是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則f(x)是周期為2︱a︱的周期函數(shù)；（3）若y=f(x)奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則f(x)是周期為4︱a︱的周期函數(shù)；（4）若y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0),(b,0)對(duì)稱，則f(x)是周期為2的周期函數(shù)；（5）y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=b(a≠b)對(duì)稱，則

2、函數(shù)y=f(x)是周期為2的周期函數(shù)；（6）y=f(x)對(duì)x∈R時(shí)，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)=，則y=f(x)是周期為2的周期函數(shù)；2．處理抽象函數(shù)的六大策略：（1）遞推（2）換元（3）聯(lián)用（4）圖象（5）賦值例1．（1）（96全國15）設(shè)f(x)是(－∞,+∞)上的奇函數(shù)，f(x+2)=－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=x,則f(7.5)等于()A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.5（2）設(shè)，且，，（3）設(shè)，且，_________（4）設(shè)，且，，，式是_____________（5）函數(shù)都有=（）....解：（1）解：f(7.5)=f(5.5+2)=－f

3、(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.（2）解法1：設(shè)yA3CE2BD　　　　　　　x－1　０１２３解法2：利用偶函數(shù)和周期性作出右圖A（－１，３）?。拢ǎ?，２）　　　?。?）解：①　?、趯ⅱ诖擘?，得　　下同例題（4）解法１：　　　　　　.解法2：　　，　，下同例題.（5）解：.令.當(dāng)，且.上為增函數(shù)評(píng)析：解抽象函數(shù)問題的方法，可概括為十個(gè)字：換元（例題解法1等）、遞推（變式1）、聯(lián)用（變式2的解法2）、圖象、賦值（變式3）.例2．定義在R上的函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，且滿足

4、f(x+2)也是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)=2x－1，求x∈[－4，0]時(shí)f(x)的表達(dá)式.[解析]由條件可以看出，應(yīng)將區(qū)間[－4，0]分成兩段考慮：①若x∈[－2，0]，－x∈[0，2]，∵f(x)為偶函數(shù)，∴當(dāng)x∈[－2，0]時(shí)，f(x)=f(－x)=－2x－1,②若x∈[－4，－2，∴4+x∈[0，2，∵f(2+x)+f(2－x)，∴f(x)=f(4－x)，∴f(x)=f(－x)=f[4－（－x）]=f(4+x)=2（x+4）－1=2x+7;綜上，例3．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋ǎ蓿?）∪（0，+∞），且滿足條件：①f(x·y)=f(x)+f(y)，②f(2)=

5、1，③當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0，（1）求證：f(x)為偶函數(shù)；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）求不等式f(x)+f(x－3)≤2的解集.[解析]（1）在①中令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1)f(1)=0,令x=y=－1,得f(1)=f(－1)+f(－1)f(－1)=0,再令y=－1,得f(－x)=f(x)+f(－1)f(x),∴f(x)為偶函數(shù)；（2）在①中令先討論上的單調(diào)性，任取x1、x2，設(shè)x2>x1>0，由③知：>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在（0，+∞）上是增函數(shù)，∵偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴f(x)在（－∞，0）上是減函數(shù)；（3）∵f[x(x－3)]=

6、f(x)+f(x－3)≤2，由①、②得2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(－4)，1）若x(x－3)>0,∵f(x)在（0，+∞）上為增函數(shù)，由f[x(x－3)]≤f(4)得2）若x(x－3)<0,∵f(x)在（－∞，0）上為減函數(shù)；由f[x(x－3)]≤f(－4)得∴原不等式的解集為：練習(xí)：1.（2001北京春2）函數(shù)f（x）=ax（a>0，且a≠1）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x、y都有（）CA.f（xy）=f（x）·f（y）B.f（xy）=f（x）+f（y）C.f（x+y）=f（x）·f（y）D.f（x+y）=f（x）+f（y）2．2．如果且，則（）CA、2003B、1001C、

7、2004D、20023．3．若的最小正周期為2T，且有對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則是（）BA、奇函數(shù)B、偶函數(shù)C、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D、非奇非偶函數(shù)4．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并滿足f(x+2)=,當(dāng)2≤x≤3，f(x)=x，則f(5.5)=（D）A．5.5B．－5.5C．－2.5D．2.55.定義在R上的函數(shù)f(x)不是常數(shù)函數(shù)，且滿足ｆ（ｘ－１）＝ｆ（ｘ＋１），ｆ（１＋ｘ）＝ｆ（１－ｘ），則ｆ（ｘ）（）BA.是奇函數(shù)也是周期函數(shù)B.是偶函數(shù)也是周期函數(shù)C.是