對(duì)稱性在曲線積分中的應(yīng)用

《對(duì)稱性在曲線積分中的應(yīng)用》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。

1、對(duì)稱性在曲線積分中的應(yīng)用內(nèi)容:在計(jì)算對(duì)稱區(qū)間上的定積分和對(duì)稱區(qū)域上的重積分時(shí),適當(dāng)利用積分區(qū)域和被積函數(shù)的對(duì)稱性可起到簡(jiǎn)化計(jì)算的作用。同樣,在曲線積分的計(jì)算中,也可利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算。　　關(guān)鍵詞:對(duì)稱性;曲線積分;實(shí)例　　:O13:A　　　　在各類《高等數(shù)學(xué)》教材中,在計(jì)算對(duì)稱區(qū)間上的定積分和對(duì)稱區(qū)域上的重積分時(shí),適當(dāng)利用積分區(qū)域和被積函數(shù)的對(duì)稱性可起到簡(jiǎn)化計(jì)算的作用,但在曲線積分卻很少談及。實(shí)際上,在曲線積分問(wèn)題中,也有相應(yīng)的問(wèn)題。如果把定積分、重積分視為線積分的特殊情況,則奇偶性、對(duì)稱性這些在特定情況下的性質(zhì)就可以推廣到一般的線積分中?！　√接懭?/p>

2、何利用對(duì)稱性計(jì)算曲線積分及曲面積分,使得曲線(面)積分更為簡(jiǎn)便、快捷。筆者通過(guò)自己的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),運(yùn)用實(shí)例,提出了自己的觀點(diǎn),希望能夠起到拋磚引玉的效果。　　一、曲線積分中的對(duì)稱性問(wèn)題　　定理1:設(shè)平面[或空間]曲線C由關(guān)于點(diǎn)P(或直線l)[或平面a]對(duì)稱的曲線C1和C2組成,且設(shè)M(∈C1)的對(duì)稱點(diǎn)為M(∈C2),則　　　　例1:計(jì)算,其中C:(x2+y2)2=a2(x2-y2)?！　〗?由于f(x,y)=

3、y

4、,而曲線C關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱,由定理1就只考慮第一象限部分的曲線積分即可。采用極坐標(biāo),令x=ρcosθ,y=ρsinθ,于是C的方程化為:ρ2

5、=a2cos2θ　　令又　　　　由定理1:得。其中C1是曲線C在第一象限的部分?！　±?:計(jì)算,其中Σ為平面z=π/2,0≤x≤π,0≤y≤π的上側(cè)?！　〗?　　　　　　　　　　　　　　　　其中Dxy={(x,y)∣0≤x≤π,0≤y≤π}為Σ在xoy平面的投影?！　《ɡ?:設(shè)f(x,y)在光滑或分段光滑的平面曲線L上可積,L關(guān)于直線l對(duì)稱。若f(x,y)關(guān)于直線l為奇函數(shù),則　　若f(x,y)關(guān)于直線l為偶函數(shù),則,其中L1為L(zhǎng)在直線l一側(cè)的部分?！　⊥普?設(shè)f(x,y)在光滑或分段光滑的平面曲線L上可積,L關(guān)于直線x=a對(duì)稱。若f(2a-x,y)

6、=-f(x,y),則;若f(2a-x,y)=f(x,y),則,其中L1為L(zhǎng)在直線x=a一側(cè)的部分?！　±?:設(shè)f(x,y)函數(shù)在曲線L上連續(xù),其中L關(guān)于直線x=a對(duì)稱,弧長(zhǎng)為s。計(jì)算?！　　　〗?令,(x,y)∈L,則g(2a-x,y)==-g(x,y),即g　　　　(x,y)關(guān)于直線x=a為奇函數(shù)。由定理1的推論2知　　?！　　　∮谑?　　　　　　二、利用積分曲線關(guān)于變量的輪換對(duì)稱性　　定義1:設(shè),如果,就都有P2(x2,x3,…xn,x1)∈Ω,…,Pn(xn,x1…,xn-2,xn-1)∈Ω成立,所以稱區(qū)域Ω關(guān)于變量x1,x2,…,xn-1,x

7、n具有輪換對(duì)稱性。定義2:設(shè)函數(shù)F(x1,x2,…,xn-1,xn)≡F(x2,x3,…,xn,x1)≡…≡F(xn,x1,…,xn-2,xn-1)　　則把函數(shù)F(x1,x2,…,xn-1,xn)稱為關(guān)于變量x1,x2,…,xn-1,xn具有輪換對(duì)稱性?！　《ɡ?:對(duì)于第一類平面曲線積分,如果積分曲線L關(guān)于變量x,y具有輪換對(duì)稱性,則　　(1);　　(2)當(dāng)L關(guān)于y=x對(duì)稱,L在y=x的上半部分為L(zhǎng)1,在下半部分為L(zhǎng)2,則　　　　定理4:對(duì)于第一類空間曲線積分,如果Γ關(guān)于x,y,z具有輪換對(duì)稱性,那么　　　　定理5:如果積分曲線Γ關(guān)于x,y,z具有輪

8、換對(duì)稱性,那么　　　　　　例4:試計(jì)算,　　其中(1)Γ:x2+y2=a2;(2),　　解:∵積分曲線關(guān)于變量x,y具有輪換對(duì)稱性,　　∴由定理6:得　　　　∵積分曲線關(guān)于變量x,y,z具有輪換對(duì)稱性,　　∴由定理7:得