對稱性在曲線積分中的應(yīng)用

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1、對稱性在曲線積分中的應(yīng)用內(nèi)容摘要:在計(jì)算對稱區(qū)間上的定積分和對稱區(qū)域上的重積分時(shí)，適當(dāng)利用積分區(qū)域和被積函數(shù)的對稱性可起到簡化計(jì)算的作用。同樣，在曲線積分的計(jì)算中,也可利用對稱性簡化計(jì)算。關(guān)鍵詞:對稱性;曲線積分;實(shí)例中圖分類號:013文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A在各類《高等數(shù)學(xué)》教材中，在計(jì)算對稱區(qū)間上的定積分和對稱區(qū)域上的重積分時(shí)，適當(dāng)利用積分區(qū)域和被積函數(shù)的對稱性可起到簡化計(jì)算的作用J旦在曲線積分卻很少談及。實(shí)際上，在曲線積分問題中，也有相應(yīng)的問題。如果把定積分、重積分視為線積分的特殊情況，則奇偶性、對稱性這些在特定情況下的性質(zhì)就可以推廣到一般的線積分

2、中。探討如何利用對稱性計(jì)算曲線積分及曲面積分，使得曲線（面）積分更為簡便、快捷。筆者通過自己的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用實(shí)例，提出了自己的觀點(diǎn),希望能夠起到拋磚引玉的效果。一、曲線積分中的對稱性問題定理1:設(shè)平面［或空間］曲線C由關(guān)于點(diǎn)P(或直線I)［或平面a］對稱的曲線C1和C2組成、且設(shè)M(EC1)的對稱點(diǎn)為M(eC2)，則例1:計(jì)算，其中C:(x2+y2)2=a2(x2-y2)。解:由于卽斤)=卜

3、、而曲線〔關(guān)于x軸、y軸對稱，由定理1就只考慮第一象限部分的曲線積分即可。采用極坐標(biāo)，令x=Pcos一,y=Psin0，于是C的方程化為:P2=a2cos

4、20令又由定理1:得。其中Cl是曲線C在第一象限的部分。例2:計(jì)算、其中2為平面z=n/2、0彡x彡n的上側(cè)解:其中Dxy=｛（x,y）?O^x^叮｝為2在xoy平面的投影。定理2:設(shè)f（x，y）在光滑或分段光滑的平面曲線L上可積,L關(guān)于直線I對稱。若f（x，y）關(guān)于直線I為奇函數(shù),則若f（x,y）關(guān)于直線I為偶函數(shù)，則，其中L1為L在直線I一側(cè)的部分。推論:設(shè)f（x，y）在光滑或分段光滑的平面曲線L上可積,L關(guān)于直線x=a對稱。若f（2a-x、y）=-f（x,y）,貝[];若f（2a-x,y>=f（x、y）、則，其中L1為L在直線x=a—側(cè)的

5、部分。例3:設(shè)f（x,y）函數(shù)在曲線L上連續(xù)，其中L關(guān)于直線x=a對稱,弧長為s。計(jì)算。解:令，（x、y）EL、則g（2a-x、y）==-g（x，y）,即g（x,y>關(guān)于直線x=a為奇函數(shù)。由定理1的推論2知于是,二、利用積分曲線關(guān)于變量的輪換對稱性定義1:設(shè)，如果，就都有P2(x2,x3/-xn,xl)e…，Pn(xn,xl"xn-2、xn-l)eQ成立，所以稱區(qū)域Q關(guān)于變量xl，x2,…,xn-l,xn具有輪換對稱性。定義2:設(shè)函數(shù)F(xl,x2,".,xn-l,xn)三F(x2,x3,…,xn,xl)三…三F(xn,xl,…,xn-2,

6、xn-l)則把函數(shù)F(xl,x2,…、xn-l、xn)稱為關(guān)于變量xl,x2,…,xn-1'xn具有輪換對稱性。定理3:對于第一類平面曲線積分，如果積分曲線L關(guān)于變量x,y具有輪換對稱性，則⑴；(2)當(dāng)L關(guān)于y=x對稱，L在y=x的上半部分為L1,在下半部分為L2,則定理4:對于第一類空間曲線積分、如果「關(guān)于x,y、z具有輪換對稱性，那么定理5:如果積分曲線r關(guān)于x，y，z具有輪換對稱性，那么例4:試計(jì)算，其中(I)「:x2+y2=a2;(2)，?：積分曲線關(guān)于變量x,y具有輪換對稱性，由定理6:得V積分曲線關(guān)于變量x,y，z具有輪換對稱性，.

7、?.由定理7:得參考文獻(xiàn)：[1]徐海娜.對稱性在曲線積分計(jì)算中的應(yīng)用D].高校理科研宄,2009,01[2]程希旺.對稱性在曲線積分和曲面積分計(jì)算中的應(yīng)用⑴.遵義師范學(xué)院學(xué)報(bào),2007,10[3]程峰.談對稱性在曲線積分和曲面積分的運(yùn)用[J].大眾商務(wù)，2010,01[4]紀(jì)榮芳，婁本平.對稱性在曲線積分及曲面積分計(jì)算中的應(yīng)用P].泰山學(xué)院學(xué)報(bào),2004,05作者簡介：韓艷光(1986-)，漢族，北京人西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)。