對(duì)稱性在積分中的應(yīng)用

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1、華北水利水電學(xué)院數(shù)學(xué)實(shí)踐報(bào)告對(duì)華北水利水電學(xué)院對(duì)稱性在積分中的應(yīng)用學(xué)院：環(huán)境與市政工程學(xué)院專業(yè)：建筑環(huán)境與設(shè)備工程班級(jí)：2010108成員：王永輝201010804朱虹光201010810余維召20101081111華北水利水電學(xué)院數(shù)學(xué)實(shí)踐報(bào)告對(duì)稱性在積分中的應(yīng)用積分的計(jì)算是積分運(yùn)用中的一個(gè)難點(diǎn).在某些積分的計(jì)算過(guò)程中，若能利用對(duì)稱性，則可以簡(jiǎn)化積分的計(jì)算過(guò)程.本文介紹了幾種常見(jiàn)的對(duì)稱性在積分計(jì)算過(guò)程中的幾個(gè)結(jié)論及其應(yīng)用，并通過(guò)實(shí)例討論了利用積分區(qū)域的對(duì)稱性及被積函數(shù)的奇偶性簡(jiǎn)化重積分，曲線積分，曲面積分的計(jì)算方法.另外，對(duì)于曲面積分的計(jì)算，本文還給出了

2、利用積分曲面關(guān)于變量的輪換對(duì)稱性簡(jiǎn)化曲面積分的計(jì)算，是曲面積分的計(jì)算更加便捷.積分的對(duì)稱性包括重積分，曲線積分，曲面積分的對(duì)稱性.在積分計(jì)算中，根據(jù)題目的條件，充分利用積分區(qū)域的對(duì)稱性及被積函數(shù)的奇偶性，往往可以達(dá)到事半功倍的效果.下面我將從積分相關(guān)的定理和結(jié)論，再結(jié)合相關(guān)的實(shí)例進(jìn)行具體的探討.本文結(jié)合積分域關(guān)于平行于坐標(biāo)軸的直線，平行于坐標(biāo)面的平面，平行于坐標(biāo)軸對(duì)角線的直線的對(duì)稱性定義，以及相應(yīng)對(duì)稱區(qū)域上定理中的函數(shù)約定在該區(qū)域都連續(xù)或偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)定義1：設(shè)平面區(qū)域?yàn)?若點(diǎn),則關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)稱點(diǎn)與是關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn).若點(diǎn)∈，則關(guān)于直線對(duì)稱，稱點(diǎn)與是關(guān)于的對(duì)

3、稱（顯然當(dāng),對(duì)關(guān)于,軸對(duì)稱）定義2:設(shè)平面區(qū)域?yàn)?若點(diǎn)，則關(guān)于對(duì)稱，稱點(diǎn)與是關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn).若點(diǎn)，則關(guān)于直線對(duì)稱）1、二重積分的對(duì)稱性定理定理1：設(shè)有界閉區(qū)域,與關(guān)于或軸對(duì)稱.設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，那么（ⅰ）若是關(guān)于（或）的奇函數(shù)，則（ⅱ）若是關(guān)于（或）的偶函數(shù)，則=2，注釋：設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)11華北水利水電學(xué)院數(shù)學(xué)實(shí)踐報(bào)告（?。┤絷P(guān)于軸對(duì)稱，則其中是的右半部分:=（ii）若D關(guān)于x軸對(duì)稱，則其中是的上半部分：=定理2：設(shè)有界閉區(qū)域D關(guān)于x軸和y軸均對(duì)稱，函數(shù)在D上連續(xù)且關(guān)和均為偶函數(shù)，則其中是的第一象限的部分：=定理3：則設(shè)有界閉區(qū)域D關(guān)于原

4、點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)在上連續(xù)，則其中=，=例1：計(jì)算，其中D由下列雙紐線圍成：(1)(2)解：（1）由于圍成的區(qū)域關(guān)于x軸y軸均對(duì)稱，而被積函數(shù)關(guān)于（或軸）為奇函數(shù)則有（2）由圍成的區(qū)域?qū)ΨQ于原點(diǎn)，而被積函數(shù)是關(guān)于,11華北水利水電學(xué)院數(shù)學(xué)實(shí)踐報(bào)告的偶函數(shù)則有=由極坐標(biāo)知，代入得且由，知?jiǎng)t于是定理4：設(shè)有界閉區(qū)域D關(guān)于對(duì)稱,函數(shù)在上連續(xù)，則=例2：設(shè)函數(shù)在上的正值連續(xù)函數(shù)證明：，其中為常數(shù)，證明：∵積分區(qū)域D關(guān)于對(duì)稱∴設(shè)由函數(shù)關(guān)于兩個(gè)變量，以上兩式相,得，從而一般地，有以下定理：定理5：設(shè)有界閉區(qū)域，與關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)在上連續(xù)，那么：（ⅰ）若是關(guān)于直線的奇函數(shù)

5、，則（ⅱ）若是關(guān)于直線的偶函數(shù)，則2，11華北水利水電學(xué)院數(shù)學(xué)實(shí)踐報(bào)告2、三重積分的對(duì)稱性定理定理6：設(shè)空間有界閉區(qū)域，與關(guān)于坐標(biāo)面對(duì)稱，函數(shù)在上連續(xù)，那么：（?。┤羰顷P(guān)于的奇函數(shù)，則=0（ⅱ）若是關(guān)于的偶函數(shù)，則：=同時(shí)，若關(guān)于坐標(biāo)面對(duì)稱，關(guān)于奇函數(shù)或偶函數(shù)；或者若關(guān)于坐標(biāo)面對(duì)稱關(guān)于為奇函數(shù)或偶函數(shù)，同樣也有類似結(jié)論.例7：求下列曲面所界的均勻物體的重心坐標(biāo)，解：若令，則質(zhì)量為設(shè)重心坐標(biāo)為,,由對(duì)稱性知，而=于是，重心為點(diǎn)（,,）※曲線積分的對(duì)稱性1、第一型曲線積分的對(duì)稱性定理定理7：設(shè)平面內(nèi)光滑曲線,與關(guān)于（或）軸對(duì)稱，函數(shù)在上連續(xù)，那么：（?。┤羰?/p>

6、關(guān)于(或)的奇函數(shù)，則（ⅱ）若是關(guān)于(或)的偶函數(shù)，則=2,注：設(shè)平面分段光滑曲線關(guān)于軸對(duì)稱，則11華北水利水電學(xué)院數(shù)學(xué)實(shí)踐報(bào)告其中是的右半段：=定理8：設(shè)平面內(nèi)光滑曲線,與關(guān)于軸對(duì)稱且方向相反，函數(shù)在上連續(xù)，那么：（?。┤羰顷P(guān)于的偶函數(shù)，則（ⅱ）若是關(guān)于的奇函數(shù)，則,例4：求曲線積分，其中是單位圓周，方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较蚪猓骸咔€積分可分為上,下兩個(gè)對(duì)稱的部分，在對(duì)稱點(diǎn)與上，函數(shù)大小相同，但投影元素在上半圓為負(fù)，下半圓為正∴在對(duì)稱的兩個(gè)半圓上大小相等，符號(hào)相反故類似可知因此定理9：設(shè)是平面上關(guān)于直線對(duì)稱的一條曲線弧（?。┤?,則（ⅱ）若=,則=2例5：計(jì)算

7、，其中是曲線所圍成的回路解：∵關(guān)于軸及直線對(duì)稱∴設(shè)=11華北水利水電學(xué)院數(shù)學(xué)實(shí)踐報(bào)告則=設(shè)=則==即=2、第二類曲線積分的對(duì)稱性定理定理1：對(duì)于第二類曲線積分還需考慮投影元素的符號(hào).當(dāng)積分方向與坐標(biāo)正方向之間的夾角小于時(shí)，投影元素為正，否則為負(fù).就而言，考察在對(duì)稱點(diǎn)上的符號(hào)定理2：若積分曲線T關(guān)于,,具輪換對(duì)稱性，則=定理3：設(shè)是平面上關(guān)于對(duì)稱的一條光滑曲線弧，，任意,有，且，在軸投影方向相反，則（?。┤?-,則（ⅱ）若=,則=定理3中，若，在軸投影方向相同，其他條件不變，則有（?。┤?-,則（ⅱ）若=,則=例：計(jì)算=,其中拋物線上從到的一段弧解：==因

8、為關(guān)于對(duì)稱==11華北水利水電學(xué)院數(shù)學(xué)實(shí)踐報(bào)告由定理3有=所以=0，即※曲面積分