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《誤差理論與數(shù)據(jù)處理第五章》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第5章線性參數(shù)的最小二乘處理最小二乘法原理是一種在多學(xué)科領(lǐng)域中獲得廣泛應(yīng)用的數(shù)據(jù)處理方法．本章將重點闡述最小二乘法原理在線性參數(shù)和非線性參數(shù)估計中的應(yīng)用。從而使學(xué)生掌握最小二乘法的基本思路和基本原理，以及在等精度或不等精度測量中線性、非線性參數(shù)的最小二乘估計方法，并科學(xué)給出估計精度。教學(xué)目標(biāo)最小二乘法原理等精度測量線性參數(shù)的最小二乘處理不等精度測量線性參數(shù)的最小二乘處理最小二乘估計量的精度估計組合測量的最小二乘法處理重點與難點第5章線性參數(shù)的最小二乘處理一、引入待測量（難以直接測量）：直接測量量：問題：如何根據(jù) 和測量方程解得待測量的估計值 ?。康谝还?jié) 最小二乘原理直接求得
2、 。有利于減小隨機誤差，方程組有冗余，采用最小二乘原理求。討論：最小二乘原理：最可信賴值應(yīng)使殘余誤差平方和最小。第一節(jié) 最小二乘原理二、最小二乘原理設(shè)直接測量量的估計值為，則有殘差方程式第一節(jié) 最小二乘原理若不存在系統(tǒng)誤差，相互獨立并服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差分別為，則出現(xiàn)在相應(yīng)真值附近區(qū)域內(nèi)的概率為由概率論可知，各測量數(shù)據(jù)同時出現(xiàn)在相應(yīng)區(qū)域的概率為第一節(jié) 最小二乘原理測量值已經(jīng)出現(xiàn)，有理由認(rèn)為這n個測量值出現(xiàn)于相應(yīng)區(qū)間的概率P為最大。要使P最大，應(yīng)有最小由于結(jié)果只是接近真值的估計值，因此上述條件應(yīng)表示為最小第一節(jié) 最小二乘原理等精度測量的最小二乘原理：最小不等精度測量的最小二乘原理
3、：最小最小二乘原理（其他分布也適用）測量結(jié)果的最可信賴值應(yīng)使殘余誤差平方和（或加權(quán)殘余誤差平方和）最小。第一節(jié) 最小二乘原理三、等精度測量的線性參數(shù)最小二乘原理線性參數(shù)的測量方程和相應(yīng)的估計量為：殘差方程為第一節(jié) 最小二乘原理令則殘差方程的矩陣表達式為等精度測量最小二乘原理的矩陣形式：第一節(jié) 最小二乘原理不等精度測量最小二乘原理的矩陣形式：思路一：權(quán)矩陣四、不等精度測量的線性參數(shù)最小二乘原理第一節(jié) 最小二乘原理思路二：不等精度 等精度則有：第一節(jié) 最小二乘原理正規(guī)方程：誤差方程按最小二乘法原理轉(zhuǎn)化得到的有確定解的代數(shù)方程組。一、等精度測量線性參數(shù)最小二乘處理的正規(guī)方程第二節(jié) 正規(guī)方
4、程正規(guī)方程：特點：主對角線分布著平方項系數(shù)，正數(shù)相對于主對角線對稱分布的各系數(shù)兩兩相等第二節(jié) 正規(guī)方程看正規(guī)方程組中第r個方程：則正規(guī)方程可寫成即正規(guī)方程的矩陣形式第二節(jié) 正規(guī)方程將 代入到 中，得（待測量Ｘ的無偏估計）第二節(jié) 正規(guī)方程例5.1已知銅棒的長度和溫度之間具有線性關(guān)系：。為獲得０℃時銅棒的長度和銅的線膨脹系數(shù) ，現(xiàn)測得不同溫度下銅棒的長度，如下表，求 ， 的最可信賴值。1020304050602000.362000.722000.82001.072001.482000.60解：1）列出誤差方程令為兩個待估參量，誤差方程為第二節(jié) 正規(guī)方程按照最小二乘的矩陣形式計
5、算則有：第二節(jié) 正規(guī)方程那么：第二節(jié) 正規(guī)方程二、不等精度測量線性參數(shù)最小二乘處理的正規(guī)方程由此可得不等精度測量線性參數(shù)最小二乘處理的正規(guī)方程：第二節(jié) 正規(guī)方程整理得：第二節(jié) 正規(guī)方程即不等精度的正規(guī)方程將 代入上式，得（待測量Ｘ的無偏估計）第二節(jié) 正規(guī)方程例5.2某測量過程有誤差方程式及相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差：試求的最可信賴值。解：首先確定各式的權(quán)第二節(jié) 正規(guī)方程令第二節(jié) 正規(guī)方程三、非線性參數(shù)最小二乘處理的正規(guī)方程針對非線性函數(shù)其測量誤差方程為令，現(xiàn)將函數(shù)在處展開，則有第二節(jié) 正規(guī)方程將上述展開式代入誤差方程，令則誤差方程轉(zhuǎn)化為線性方程組于是可解得，進而可得近似值第二節(jié) 正規(guī)方程為獲
6、得函數(shù)的展開式，必須首先確定1）直接測量2）通過部分方程式進行計算：從誤差方程中選取最簡單的t個方程式，如令，由此可解得。四、最小二乘原理與算術(shù)平均值原理的關(guān)系為確定一個被測量X的估計值x，對它進行n次直接測量，得n個數(shù)據(jù)，相應(yīng)的權(quán)分別為，則測量的誤差方程為第二節(jié) 正規(guī)方程按照最小二乘原理可求得結(jié)論：最小二乘原理與算術(shù)平均值原理是一致的，算術(shù)平均值原理是最小二乘原理的特例。第二節(jié) 正規(guī)方程目的：給出估計量的精度。一、測量數(shù)據(jù)精度估計A）等精度測量數(shù)據(jù)的精度估計對進行n次等精度測量，得的估計量?？梢宰C明是自由度（n－t）的變量。第三節(jié) 精度估計則可取作為的無偏估計量。因此測量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差
7、的估計量為第三節(jié) 精度估計B）不等精度測量數(shù)據(jù)的精度估計測量數(shù)據(jù)的單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差的無偏估計第三節(jié) 精度估計二、最小二乘估計量的精度估計A）等精度測量最小二乘估計量的精度估計設(shè)有正規(guī)方程第三節(jié) 精度估計設(shè)利用上述不定乘數(shù)，可求得其中：第三節(jié) 精度估計由于為等精度的相互獨立的正態(tài)隨機變量，則同理可得則相應(yīng)的最小二乘估計值的標(biāo)準(zhǔn)差為第三節(jié) 精度估計B）不等精度測量最小二乘估計量的精度估計經(jīng)推導(dǎo)：第三節(jié) 精度估計組合測量：通過直接測量待測參數(shù)的組合量（一
