《函數(shù)最值》word版

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1、高中數(shù)學(xué)二元函數(shù)最值問題求解方法淺析白銀市實(shí)驗(yàn)中學(xué)王建武我們把形如的函數(shù)稱為二元函數(shù)。其最值問題是高中數(shù)學(xué)的一大難點(diǎn)，近年來高考試題中屢有考察。求解二元函數(shù)的最值，涉及到函數(shù)、不等式、線性規(guī)劃、解析幾何、向量等諸多高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)，更體現(xiàn)了函數(shù)思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想等若干核心數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用。學(xué)好二元函數(shù)問題最值的求解，是函數(shù)部分的一大重點(diǎn)。求解二元函數(shù)最值，核心思想是化二元為一元——將復(fù)雜問題化歸為簡單模型是數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵，也是本質(zhì)。通過消元或換元，將一個(gè)二元問題簡化為一元函數(shù)問題，依

2、托于研究學(xué)生所熟識(shí)的一元函數(shù)達(dá)到求解二元函數(shù)最值的目的。下文所敘述的消元法和換元法都是這一思想的具體運(yùn)用。同時(shí)，求解二元函數(shù)最值問題時(shí)，聯(lián)系題目中條件與最值問題所對應(yīng)的幾何意義——利用數(shù)形結(jié)合的思想，將二元函數(shù)問題化歸為二維平面內(nèi)的圖形變換關(guān)系，通過觀察圖形的幾何意義來解決問題，是此類問題其求解的又一法寶。此外，結(jié)合已知條件，利用重要不等式來解決問題是我們可以借助的又一重要工具。均值不等式法就體現(xiàn)了這一思想。下面通過幾個(gè)具體的例子，著重通過一題多解的模式來分析二元最值求解的基本方法。一、消元法消元法是求解二元

3、函數(shù)最值問題的最基本方法。同時(shí)，在求解此類問題時(shí)，設(shè)法消元也是核心的思路。例1、已知且，求的最小值。分析：已知條件給出了兩變量的關(guān)系，故而可以用表示，將二元問題劃歸為一元問題。解：由得，所以，又，所以。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。（亦可利用“對勾”函數(shù)理解）例2、從圓外一點(diǎn)向圓引切線為切點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有，求的最小值。MOP(a,b)xyO'分析：設(shè)點(diǎn)后，利用找到的關(guān)系，求的最小值問題轉(zhuǎn)化為求的最小值。O'解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖由已知，得，所以，，即的最小值為。由以上兩例可以看出，利用已知關(guān)系，將未知的二元問題化歸為

4、已知的一元模型——由未知到已知的轉(zhuǎn)化模式是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要思想。一、換元法例3、已知，求的最小值。分析：因?yàn)闈M足的點(diǎn)均在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上，故其坐標(biāo)關(guān)系可以利用三角代換，進(jìn)而將的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題。解：設(shè)，則，所以的最小值為。例4、若動(dòng)點(diǎn)在曲線上變化，求的最大值。解：因?yàn)樵谏?，所以，故而，?dāng)即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，。換元法的本質(zhì)仍是將二元變量問題劃歸為一元問題，從而使的問題的以簡化。一、向量法同樣對于例3，我們還可以將問題看作是兩個(gè)向量的內(nèi)積，從而利用內(nèi)積的范圍求解。下面給出求解過程。解：設(shè)，有

5、，所以，，即的最小值為5.例4、已知，求的最小值。解：由已知，設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，所以因?yàn)?，所以，也就是，即所以。四、?shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合法是解決二元最值的一大類方法，其基本思想是將數(shù)的問題劃歸為形的特征，利用幾何意義來解決問題，常見的模式有構(gòu)造距離、斜率及線性規(guī)劃的應(yīng)用等。對例2來說，得到的關(guān)系后，將問題看作點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，則的最小值為原點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得。下面利用數(shù)形結(jié)合的思想對上文例3給出解答。對例3，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，將看作目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為直線，如圖所示。通過直線平移求斜率的方

6、法得到函數(shù)最值。觀察圖形可得，當(dāng)直線與圓相切時(shí)截距取得最值，故可得，。五、均值不等式法當(dāng)問題所給條件是變量與的積或和時(shí)，若函數(shù)可看作這兩個(gè)變量的和或積，當(dāng)滿足條件時(shí)，可利用均值不等式來求解。以例1為例，做一說明。，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最值。再看一例。例5、函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，其中，求的最小值。解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖像恒過點(diǎn)。又點(diǎn)在直線上，所以有，則，又，故，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)去等號(hào)。即的最小值為4。以上五種方法，是高中階段求解二元函數(shù)最值的常用方法，在解決問題的過程中，充分體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)的基本思想與基本技能，是

7、學(xué)生函數(shù)部分學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。同時(shí)，在數(shù)列、圓錐曲線部分內(nèi)容的求值等問題中也常常會(huì)涉及到，也體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，更是新課程改革的一個(gè)方向。熟練掌握二元函數(shù)最值問題的求法，是對學(xué)生的必然要求。