數(shù)值分析第一講

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1、第一章緒論運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決科學(xué)研究或工程技術(shù)問題，一般按如下途徑進(jìn)行：實(shí)際問題模型設(shè)計(jì)算法設(shè)計(jì)問題的解上機(jī)計(jì)算程序設(shè)計(jì)其中算法設(shè)計(jì)是數(shù)值分析課程的主要內(nèi)容.數(shù)值分析課程研究常見的基本數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法.包含了數(shù)值代數(shù)(線性方程組的解法、非線性方程的解法、矩陣求逆、矩陣特征值計(jì)算等)、數(shù)值逼近、數(shù)值微分與數(shù)值積分、常微分方程及偏微分方程的數(shù)值解法等.它的基本理論和研究方法建立在數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)之上，研究對(duì)象是數(shù)學(xué)問題，因此它是數(shù)學(xué)的分支之一.1結(jié)束同時(shí)它又與計(jì)算機(jī)科學(xué)有密切的關(guān)系.我們在考慮算法時(shí)，往往要同時(shí)考慮計(jì)算機(jī)的特性，如計(jì)算速度、存貯量、字長等技術(shù)指

2、標(biāo)，考慮程序設(shè)計(jì)時(shí)的可行性和復(fù)雜性.如果我們具備了一定的計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)知識(shí)和程序設(shè)計(jì)方法，學(xué)習(xí)數(shù)值分析的理論和方法就會(huì)更深刻、更實(shí)際，選擇或設(shè)計(jì)的算法也會(huì)更合理、更實(shí)用.在科學(xué)研究、工程實(shí)踐和經(jīng)濟(jì)管理等工作中，存在大量的科學(xué)計(jì)算、數(shù)據(jù)處理等問題.應(yīng)用計(jì)算機(jī)解決數(shù)值計(jì)算問題是理工科大學(xué)生應(yīng)當(dāng)具備的基本能力.§1.1算法解決某類數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法稱為算法(本教材）.為使算法能在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，它必須將一個(gè)數(shù)學(xué)問題分解為有限次的+、-、×、÷運(yùn)算和一些簡單的基本函數(shù)運(yùn)算.2結(jié)束1.1.1算法的表述形式算法的表述形式是多種多樣的.1、用數(shù)學(xué)公式和文字說明描述，這種方

3、式符合人們的理解習(xí)慣，和算法的推證相銜接，易于學(xué)習(xí)接受，但離上機(jī)應(yīng)用距離較大.2、用框圖描述，這種方式描述計(jì)算過程流向清楚，易于編制程序，但對(duì)初學(xué)者有一個(gè)習(xí)慣過程.此外框圖描述格式不很統(tǒng)一，詳略難以掌握.3、算法描述語言，它是表述算法的一種通用語言。有特定的表述程序和語句?？梢院苋菀椎剞D(zhuǎn)化為某種計(jì)算機(jī)語言，同時(shí)也具有一定的可讀性。4、算法程序，即用計(jì)算機(jī)語言描述的算法，它是面對(duì)計(jì)算機(jī)的算法。我們以后討論的算法，都有現(xiàn)成的程序文本和軟件可資利用.但從學(xué)習(xí)算法的角度看，這種描述方式并不有利.3結(jié)束本教材將采用前三種方式表述各種算法.1.1.2算法的基本特點(diǎn)

4、1、算法常表現(xiàn)為一個(gè)無窮過程的截?cái)啵?π?例1計(jì)算sinx的值，x??0,??4?根據(jù)sinx的無窮級(jí)數(shù)3572n?1xxxnxsinx?x??????(?1)??(1.1)3!5!7!(2n?1)!這是一個(gè)無窮級(jí)數(shù)，我們只能在適當(dāng)?shù)牡胤健敖財(cái)唷?，使?jì)算量不太大，而精度又能滿足要求.如計(jì)算sin0.5，取n=33570.50.50.5sin0.5?0.5????0.4796253!5!7!4結(jié)束據(jù)泰勒余項(xiàng)公式，它的誤差應(yīng)為?9???R?(?1)9???0,?(1.2)9!?4?9(?/4)?7R??3.13?10362880可見結(jié)果是相當(dāng)精確的.實(shí)際上

5、結(jié)果的六位數(shù)字都是正確的.2、算法常表現(xiàn)為一個(gè)連續(xù)過程的離散化11例2計(jì)算積分值.I??dx01?x將［0，1］分為4等分，分別計(jì)算4個(gè)小曲邊梯形的面積的近似值，然后加起來作為積分的近似值(如圖1-1).記被積1函數(shù)為f(x)，即f(x)?1?x5結(jié)束1yh?,xi?ih,i?0,1,2,341f(x)?f(x)1ii?1T?hy?i21?x3I??Tii?0計(jì)算有：I≈0.697024，與精確值0.693147比較，可知結(jié)01x果不夠精確，如進(jìn)一步細(xì)分圖1-1區(qū)間，精度可以提高.3、算法常表現(xiàn)為“迭代”形式.迭代是指某一簡單算法的多次重復(fù)，后一次使用

6、前一次的結(jié)果.這種形式易于在計(jì)算程序中實(shí)現(xiàn)，在程序中表現(xiàn)為“循環(huán)”過程.例3多項(xiàng)式求值.2nP(x)?a?ax?ax???axn012n6結(jié)束用tk表示xk，uk表示(1.4)式前k+1項(xiàng)之和.作為初值令：?t?10?(1.5)u?a?00對(duì)k=1,2,…,n，反復(fù)執(zhí)行：?tk?xtk?1?u?u?at(1.6)?kk?1kk顯然P(x)=u，而(1.6)式是一種簡單算法的多次循環(huán).nn7結(jié)束例4不用開平方計(jì)算a(a＞0)的值.a假定x0是a的一個(gè)近似值，x0＞0，則x≈a也是a0的一個(gè)近似值，且x0和兩個(gè)近似值必有一個(gè)大于a，x0另一個(gè)小于a可以設(shè)想

7、它們的平均值應(yīng)為的更好的平均值，于是設(shè)計(jì)一種算法：8結(jié)束1?a?xk?1???xk???(k=0,1,2,?)(1.8)2?xk?如計(jì)算3，取x0=2，有1?3?xk?1???xk???(k=0,1,2,?)2?xk?計(jì)算有：x=20x=1.751x=1.73214292x=1.73205083…可見此法收斂速度很快，只算三次得到8位精確數(shù)字.迭代法應(yīng)用時(shí)要考慮是否收斂、收斂條件及收斂速度等問題，今后課程將進(jìn)一步討論.9結(jié)束§1.2誤差1.2.1誤差的來源在運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的過程中，每一步都可能帶來誤差.1、模型誤差在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，往往要忽視

8、很多次要因素，把模型“簡單化”，”理想化”，這時(shí)模型就與真實(shí)背景有了差距，即帶入了誤差.2、測