正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

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1、第三章指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)理解教材新知§1正整數(shù)指數(shù)函數(shù)把握熱點(diǎn)考向應(yīng)用創(chuàng)新演練知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三在初中我們學(xué)習(xí)了正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)解決以下問題：問題1：計(jì)算32·33的值．提示：32·33＝35＝243.問題2：計(jì)算(23)2和(22)3的值．提示：(23)2＝82＝64，(22)3＝43＝64.問題3：計(jì)算35÷32的值．提示：35÷32＝33＝27.若a>0，b>0，對(duì)于任意正整數(shù)m，n，指數(shù)運(yùn)算有以下性質(zhì)：(1)am·an＝；(2)(am)n＝＝；(3)(a·b)n＝；am＋nam·n(an)man

2、·bnam－n1一種產(chǎn)品的利潤原來是a元，在今后10年內(nèi)，計(jì)劃使利潤每年比上一年增加20%.問題1：在今后10年內(nèi)，每年的利潤是上一年的多少倍？提示：1＋20%＝1.2(倍)．問題2：在今后10年內(nèi)每年的利潤y隨經(jīng)過年數(shù)x變化的函數(shù)關(guān)系式是什么？提示：y＝a×1.2x.函數(shù)(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整數(shù)指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是正整數(shù)集N＋.y＝ax1．正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)，在使用時(shí)，注意(ab)n與anam等的含義，才能正確地運(yùn)算．2．正整數(shù)指數(shù)函數(shù)是形式定義，與冪函數(shù)的定義既有聯(lián)系又有區(qū)別．雖

3、都具有冪的形式，但指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為常數(shù)，指數(shù)是自變量x.只有符合y＝ax(a>0，且a≠1，x∈N＋)這種形式的函數(shù)才是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)．1．下列各式運(yùn)算錯(cuò)誤的是()A．(－a4b2)·(－ab2)3＝a7b8B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6D．[(a3)2·(－b2)3]3＝－a18b18解析：A中，原式＝a7b8；B中，原式＝a3b3；C中，原式＝－a6b6；D中，原式＝－a18b18.答案：C2．計(jì)算：(2a3b－2)·(－6a2b－4)÷(－3a－1b－5)．解：原式＝[2×

4、(－6)÷(－3)]a3＋2＋1b－2－4＋5＝4a6b－1.[一點(diǎn)通]正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像特點(diǎn)：(1)正整數(shù)指數(shù)函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)特例，它的定義域是由一些正整數(shù)組成的集合，它的圖像是由一些孤立的點(diǎn)組成的．(2)當(dāng)01時(shí)，y＝ax(x∈N＋)是增函數(shù)．答案：C[例3](12分)某林區(qū)2011年木材蓄積200萬立方米，由于采取了封山育林、嚴(yán)禁采伐等措施，使木材蓄積量的年平均遞增率能達(dá)到5%.(1)若經(jīng)過x年后，該林區(qū)的木材蓄積量為y萬立方米，求y＝f(x)的表達(dá)式，并求此函數(shù)的定義域；(2)

5、求經(jīng)過多少年后，林區(qū)的木材蓄積量能達(dá)到300萬立方米？[思路點(diǎn)撥]根據(jù)增長率為5%，可分別列出經(jīng)過1年、2年的木材蓄積量，然后列出y＝f(x)的表達(dá)式，第(2)問可根據(jù)正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像來求．(2)作函數(shù)y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)圖像見下圖，x0123…y200210220.5231.5…(8分)作直線y＝300，與函數(shù)y＝200(1＋5%)x的圖像交于A點(diǎn)，則A(x0,300)，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0的值就是函數(shù)值y＝300時(shí)(木材蓄積量為300萬m3時(shí))所經(jīng)過的時(shí)間x年的值,因?yàn)?＜x0＜9，則取x＝9(計(jì)劃留有余地

6、，取過剩近似值)．即經(jīng)過9年后，林區(qū)的木材蓄積量能達(dá)到300萬m3.(12分)[一點(diǎn)通]1.人口、工地、復(fù)利、環(huán)境、細(xì)胞分裂等方面的問題是近幾年高考的熱點(diǎn)，應(yīng)特別關(guān)注，涉及單位時(shí)間內(nèi)變化率一定的問題可用公式y(tǒng)＝a(1＋α)x來計(jì)算，其中a為初始值，α為變化率，x為自變量，x∈N＋，y為x年變化后的函數(shù)值；2.作函數(shù)的圖像應(yīng)先列表再作出圖像，從左向右看，若圖像上升，則函數(shù)是增函數(shù)；若圖像下降，則函數(shù)是減函數(shù)，其實(shí)可總結(jié)出當(dāng)a>0，α>0時(shí)，y＝a(1＋α)x是增函數(shù)．5．農(nóng)民收入由工資性收入和其他收入兩部分構(gòu)成，2007年某地區(qū)農(nóng)民人

7、均收入為3150元(其中工資收入為1800元，其他收入為1350元)，預(yù)計(jì)該地區(qū)自2008年起的5年內(nèi)，農(nóng)民的工資收入將以每年6%的年增長率增長，其他收入每年增加160元．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2012年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于()A．4200元～4400元B．4400元～4600元C．4600元～4800元D．4800元～5000元解析：設(shè)自2008年起的第n年農(nóng)民的工資收入為y＝1800×(1＋6%)n.其他收入為y2＝1350＋160n，則第n年的收入y＝y(tǒng)1＋y2＝1800×(1＋6%)n＋1350＋160n，所以2012年農(nóng)民人均收入

8、為1800×(1＋6%)5＋1350＋160×5≈4558.8(元)．答案：B6．已知鐳每經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的95.76%，設(shè)質(zhì)量為20克的鐳經(jīng)過x百年后剩留量為y克(其中x∈N＋)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并