談構造法數(shù)學解題中的運用

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1、學科數(shù)學序號69談構造法在數(shù)學解題中的運用摘要：“構造法”作為一種重要的化歸手段，在數(shù)學解題中有著重耍的作用。本文從“構造函數(shù)”、“構造方程”等常見構造及“構造模型”、“構造情境”等特殊構造出發(fā)，例談構造法在數(shù)學解題中的運川。關鍵詞：構造數(shù)學解題歷史上有不少著名的數(shù)學家，如歐幾里得、歐拉、高斯、拉格朗FI等人，都曾經(jīng)用“構造法”成功地解決過數(shù)學上的難題。數(shù)學是一門創(chuàng)造性的藝術，蘊含著豐富的美，而靈活、巧妙的構造令人拍手叫絕，能為數(shù)學問題的解決增添色彩，更具研究和欣賞價值。近兒年來,構造法極英應用乂逐漸為數(shù)學教育界所重視，在數(shù)學競賽中冇著一定的地位。構造需要以足夠

2、的知識經(jīng)驗為基礎，較強的觀察能力、綜合運用能力和創(chuàng)造能力為而提,根據(jù)題目的特征，對問題進行深入分析，找出“已知”與“所求（所證）”之間的聯(lián)系紐帶,使解題另辟蹊徑、水到渠成。“構造法”作為一種重要的化歸手段，在數(shù)學屮有著極為重耍的作用，現(xiàn)舉例談談具在數(shù)學解題中的運用。一、構造函數(shù)理解和掌握函數(shù)的思想方法有助于實現(xiàn)數(shù)學從常量到變赧的這個認識上的飛躍。很多數(shù)學命題繁兀復雜，難尋入口，若巧妙運用函數(shù)思想，能使解答別具一格，耐人尋味。［例1］（柯西不等式）設逐,6（匸1,2,…,n）均為實數(shù)，證明:證:構造二次函數(shù)f(x)二aibix+//=!(nD2k/=i［例2］已知

3、x,y,zG(0,1),求證:x(l-y)+y(1-z)+z(1-x)<1(笫15屆俄羅斯數(shù)學竟賽題)分析：此題條件、結論均具冇一定的對稱性，然而難以直接證明，不妨用構造法一試。證:構造函數(shù)f(x)=(y+z-1)x+(yz?y?z+1)Vy,ze(0,l),???f(0)=yz?y?z+1=(y-l)(z-l)>()f(l)=(y+z-1)+(yz-y-z+l)=yz>0而f(x)是一次函數(shù)，其圖象是直線，???由xe(0,l)恒有f(x)>0即(y+z-1)x+(yz-y-z+1)>0整理可得x(l?y)+y(l?z)+z(l?x)<1二、構造方程方程是解數(shù)

4、學題的一個垂要工具，許多數(shù)學問題，根據(jù)其數(shù)量關系，在已知和未知Z間扌簽上橋梁，構造出方程，使解答簡潔、合理。［例3］已知a,b,c為互不相等的實數(shù)，試證:bem"b(a-b)(a-c)+(b-a)(b-c)+(c-a)(c-b)—’’證：構造方程(x-b)(x-c)(x-a)(x-c)(X—a)(x—b)++=j(a-b)(a-c)(b-a)(b-c)q)(c_/?)一顯然a,b,c為方程的三個互不相等的實根。而對任意實數(shù)x均滿足(2)式。特別地，令x=0,即得(1)式。［例4］設x,y為實數(shù)，且滿足關系式：「(x-1)3+1997(x-1)=-1I(y-l)3

5、+1997(y-l)=l則x+y=.(1997年全國高屮數(shù)學聯(lián)賽試題)分析：此題用常規(guī)方法，分別求出x和y的值后再求x+y則既繁又難，三次方程畢竟不熟悉。若將兩方程聯(lián)立構造出方程(x-1)3+1997(x-1)=(1-y)3+1997(1-y)=1,利用函數(shù)f(t)=t3+1997啲單調性，易得x-l=l-y,自然、簡潔。三、構造復數(shù)復數(shù)是實數(shù)的延伸，一些難以解決的實數(shù)問題通過構造轉化為復數(shù)問題，雖然數(shù)的結構會變復雜，但常使問題簡明化，正所謂“退一步海闊一空”。［例5J若a,b,x,yW{!E實數(shù)}，且x'+yj,求證:^/a2x2+b2y2+^/a2y2+b2

6、x2=^a+b證：設Z］=ax+byi,z2=bx+ayi,貝Uyl

7、+

8、Z2IMlZ1+Z2I=I(a+b)x+(a+b)yi

9、=(a+b)yjx2+y2=a+b不等式得證：四、構造代數(shù)式代數(shù)式是數(shù)學的重要組成耍素Z?,有許多性質值得我們去發(fā)現(xiàn)和應用?！纠?】證明：對于同樣的整數(shù)x和y,表達式2x+3y和9x+5y能同時被17整除。(首屆IMO試題)分析：構造代數(shù)式9(2x+3y)?2(9x+5y),其值等于17y,能被17整除，結合2與9均與17互素，結論易證。%1.構造數(shù)列相當多的數(shù)學問題，尤其是證明不

10、等式，嘗試一下“構造數(shù)列”能產(chǎn)牛意想不到的效果。(1、n<1)1+—<1+1〃丿<斤+1丿【例7】證明:(n=l,2,3分析此命題若血接證明，頗具難度，倘若構造數(shù)列Xj=X2=**e=Xn=l+^,Xn+i=l利用平均值不等式皿話嚴12叫/xM...Xn+

11、，頓使命題明朗化。六、構造幾何圖形?般來講，代數(shù)問題較為抽象,若能通過構造將之合理轉化為幾何問題，利用“數(shù)形結并設BD=x,CE=y,AF=z,如圖1合”這一重要思想方法，往往對增強問題的直觀性，使解答事半功倍或獨具匠心?！纠?】(見【例2】)證：構造邊長為1的正AABC,D,E,F為邊上三點,顯然有Sabd

12、e+Sacef+Saad