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《考研曲線積分和曲面積分.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。
1、第十章積分學(xué)定積分二重積分三重積分積分域區(qū)間域平面域空間域曲線積分曲線域曲面域曲線積分曲面積分對(duì)弧長的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分第一節(jié)一、對(duì)弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算法機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束對(duì)弧長的曲線積分第十章內(nèi)容小結(jié)1.定義2.性質(zhì)(l曲線弧?的長度)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.計(jì)算?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑曲線弧機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束如果曲線L的方程為則有如果方程為極坐標(biāo)形式:則推廣:設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束其中L1是曲線L在x
2、軸右側(cè)的那一部分；關(guān)于y軸對(duì)稱也有類似結(jié)論。對(duì)稱性的應(yīng)用：1.如果曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，函數(shù)f(x,y)關(guān)于y為奇偶函數(shù)，則2.設(shè)f(x,y)在曲線連續(xù)，曲線L關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)f(x,y)關(guān)于（x,y）為奇偶函數(shù)，則其中L1是曲線L在右半平面或上半平面的那一部分。例1.計(jì)算其中L為雙紐線解:在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為利用對(duì)稱性,得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.計(jì)算其中?為球面解:化為參數(shù)方程則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)已知橢圓周長為a,求提示:原式=利用對(duì)稱性機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二節(jié)1、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)2、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)
3、算法3、兩類曲線積分之間的聯(lián)系機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束對(duì)坐標(biāo)的曲線積分第十章1.定義性質(zhì)(1)L可分成k條有向光滑曲線弧(2)L－表示L的反向弧對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向!機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.計(jì)算?對(duì)有向光滑弧?對(duì)有向光滑弧機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑弧L以弧長為參數(shù)的參數(shù)方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類曲線積分有如下聯(lián)系機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三節(jié)一、格林公式二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束格林公式及其應(yīng)用第十章區(qū)域D分類單連通區(qū)域(無“洞”區(qū)域)多連通區(qū)域(有“洞
4、”區(qū)域)域D邊界L的正向:域的內(nèi)部靠左定理1.設(shè)區(qū)域D是由分段光滑正向曲線L圍成,則有(格林公式)函數(shù)在D上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),一、格林公式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件定理2.設(shè)D是單連通域,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿D中任意光滑閉曲線L,有(2)對(duì)D中任一分段光滑曲線L,曲線積分(3)(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有與路徑無關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān).函數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià):在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:根據(jù)定理2,若在某區(qū)域內(nèi)則2)求曲線積分時(shí),可利用格林公式簡化計(jì)算,3)可用積分法求du=Pdx+
5、Qdy在域D內(nèi)的原函數(shù):及動(dòng)點(diǎn)或則原函數(shù)為若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;取定點(diǎn)1)計(jì)算曲線積分時(shí),可選擇方便的積分路徑;定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束真題研討第四節(jié)一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束對(duì)面積的曲面積分第十章1.定義:2.計(jì)算:設(shè)則(曲面的其他兩種情況類似)注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對(duì)稱性、重心公式簡化計(jì)算的技巧.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束對(duì)面積的曲面積分的概念、性質(zhì)和計(jì)算對(duì)稱性的應(yīng)用例3.計(jì)算其中?是球面利用對(duì)稱性可知解:顯然球心為半徑為利用重心公式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第五節(jié)一、有向曲
6、面及曲面元素的投影二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法四、兩類曲面積分的聯(lián)系機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束對(duì)坐標(biāo)的曲面積分第十章其方向用法向量指向方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)?設(shè)?為有向曲面,側(cè)的規(guī)定指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xoy面上的投影記為的面積為則規(guī)定類似可規(guī)定機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束引例中,流過有向曲面?的流體的流量為稱為Q在有向曲面?上對(duì)z,x的曲面積分;稱為R在有向曲面?上對(duì)x,y的曲面積分.稱為P在有向曲面?上對(duì)y,z的曲面積分;若記?正側(cè)的單位法向量
7、為令則對(duì)坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束時(shí)，（上側(cè)取“+”,下側(cè)取“?”)類似可考慮在yoz面及zox面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束?若則有?若則有(前正后負(fù))(右正左負(fù))機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束性質(zhì):聯(lián)系:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.設(shè)S是球面的外側(cè),計(jì)算解:利用輪換對(duì)稱性,有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.計(jì)算曲面積分其中?解:利用兩類曲面積分的聯(lián)系,有∴原式=旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面z=0及z=2之間部分的下側(cè).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、高斯(Gauss)公式定理1.設(shè)空間閉區(qū)域
8、?由分片光滑的閉曲?上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)P,Q,R在面?所圍成,?的方向取
