知其然,更知其所以然.中國(guó)先哲.ppt

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1、知其然,更知其所以然.-中國(guó)先哲哪里有數(shù),哪里就有美.-Proclus數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)上海交大數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院?的計(jì)算你也許能寫(xiě)出?=3.1415926535實(shí)際問(wèn)題?―圓周率,我們十分熟悉的常數(shù).用Matlab可以求出?到幾百位>>digits(100)>>vpa(pi)但你會(huì)計(jì)算?的值嗎？你又能用幾種方法計(jì)算？ans=3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211

2、7068劉徽割圓法從正六邊形開(kāi)始，逐步求邊長(zhǎng)與面積oABCD相應(yīng)ΔOAC的面積設(shè)邊數(shù)為6·2n的正多邊形邊長(zhǎng)為an遞推法于是?的值(劉徽計(jì)算到192邊形面積，得到??3.141)用Matlab計(jì)算m文件functioncalpi(n)a(1)=1;fori=1:n-1a(i+1)=sqrt(2-sqrt(4-a(i)^2));endS=3*2^(n-1)*a(n)命令窗口輸入formatlonggcalpi(5)如何提高精度提高多邊形的邊數(shù)不能完全達(dá)到目的在Matlab文件中解決符號(hào)運(yùn)算functio

3、ncalpi1(n)a(1)=sym(1);fori=1:n-1a(i+1)=sym(sqrt(2-sqrt(4-a(i)^2)));endS=3*2^(n-1)*a(n);vpa(S,60)%最后進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，60為數(shù)值計(jì)算過(guò)程中保留的有效數(shù)字?任務(wù)1德國(guó)人魯?shù)婪蛴靡簧?jì)算圓周率。他同樣是用圓的內(nèi)接多邊形逼近圓周，不過(guò)他是從正方形開(kāi)始成倍增加邊數(shù)。試推導(dǎo)出他計(jì)算所采用的遞推公式，然后求π的近似值到10位和20位.利用冪級(jí)數(shù)計(jì)算積分導(dǎo)出取x=1(Sn的迭代格式)用Matlab計(jì)算創(chuàng)建m文件calpi2

4、.m，內(nèi)容如下：functioncalpi2(n)S=0;fori=1:nifmod(i,2)==0S=S-1/(2*i-1);elseS=S+1/(2*i-1);endendS=4*S>>calpi2(1000)ans=3.14059265383979>>calpi2(10000)ans=3.14149265359003結(jié)果如何?>>calpi2(20000)ans=3.14154265358982精度提高很慢!能不能算得更快一點(diǎn)、更精確一點(diǎn)？Machin公式簡(jiǎn)單公式用Matlab創(chuàng)建m文件func

5、tioncalpi2_1(n)S=0;fori=1:nifmod(i,2)==0S=S-1/(2*i-1)*(1/(2^(2*i-1))+1/(3^(2*i-1)));elseS=S+1/(2*i-1)*(1/(2^(2*i-1))+1/(3^(2*i-1)));endendS=vpa(4*S,30)%觀察30位有效數(shù)字>>calpi2_1(10)ans=3.14159257960635063255949717131計(jì)算結(jié)果>>calpi2_1(20)ans=3.1415926535897562565

6、9354591335>>calpi2_1(50)ans=3.14159265358979323846264338328一個(gè)結(jié)論算法很重要計(jì)算機(jī)速度300次/秒?33.86?1040兆/秒從1950?2000年104次/秒?1012次/秒，提高1億倍?算法(解線性方程組高斯消去法?多重網(wǎng)格法)?計(jì)算機(jī)速度運(yùn)算次數(shù)：1018次?106次，提高1萬(wàn)億倍任務(wù)22)驗(yàn)證公式1)用反正切函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式結(jié)合有關(guān)公式簡(jiǎn)單公式和Machin公式所用的項(xiàng)數(shù).求?，若要精確到40位、50位數(shù)字，試比較試用此公式右端作冪

7、級(jí)數(shù)展開(kāi)完成任務(wù)1)所需的項(xiàng)數(shù)3）回憶在微積分中學(xué)習(xí)到的其它級(jí)數(shù)形式是否可用來(lái)求?的值到10位、20位、30位，相應(yīng)需要級(jí)數(shù)的多少項(xiàng)？將[0,1]區(qū)間n等分，取xk=k/n,利用數(shù)值積分方法yk=1/(1+xk2)Matlab計(jì)算創(chuàng)建m文件梯形法functioncalpi3(n)x=0:1/n:1;y=1./(1+x.^2);S=2*sum(y)-1-0.5;2*S/n>>calpi3(100)ans=3.14157598692313>>calpi3(500)ans=3.14159198692313>

8、>calpi3(10000)ans=3.14159265192314用數(shù)值積分計(jì)算?，分別用梯形法和Simpson法精確到10位數(shù)字，用Simpson法精確到15位數(shù)字.任務(wù)3針與平行線相交的次數(shù)為nMonteCarlo法從Buffon落針實(shí)驗(yàn)談起：紙上一組平行線距離為1，將長(zhǎng)度為1的針多次地扔到紙上。若扔針次數(shù)為m,而其中Buffon指出：?的數(shù)值與m/n有關(guān)，他由此求出?的近似值為3.142設(shè)計(jì)方案?＝4m/n計(jì)算機(jī)模擬：產(chǎn)生區(qū)間[0,1]上數(shù)目為n