吉林--橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（李季）.doc

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1、第三屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評(píng)比活動(dòng)教案課題：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教材：人教版（必修）數(shù)學(xué)第二冊(cè)(上)第八章第一節(jié)授課教師：(吉林省)東北師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校李季一、教學(xué)目標(biāo)：1．知識(shí)與技能目標(biāo)：（1）掌握橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）能用橢圓的定義解決一些簡(jiǎn)單的問題.2．過程與方法目標(biāo)：（1）通過橢圓定義的歸納和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、認(rèn)識(shí)規(guī)律并利用規(guī)律解決實(shí)際問題的能力.（2）在橢圓定義的獲得和其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想和方法3．情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：（1）通過橢圓定義的獲得培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的興趣.（2）通過標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生求簡(jiǎn)意識(shí)并能懂

2、得欣賞數(shù)學(xué)的“簡(jiǎn)潔美”.（3）通過師生、生生的合作學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力的培養(yǎng)，增強(qiáng)主動(dòng)與他人合作交流的意識(shí).二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：1．重點(diǎn)：橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程2．難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)三、教學(xué)過程（一）認(rèn)識(shí)橢圓，探求規(guī)律:1．對(duì)橢圓的感性認(rèn)識(shí).通過演示課前老師和學(xué)生共同準(zhǔn)備的有關(guān)橢圓的實(shí)物和圖片，讓學(xué)生從感性上認(rèn)識(shí)橢圓.2．通過動(dòng)畫設(shè)計(jì)，展示橢圓的形成過程，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到橢圓是點(diǎn)按一定“規(guī)律”運(yùn)動(dòng)的軌跡.點(diǎn)是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，分別以為圓心，與為半徑做圓，觀察兩圓交點(diǎn)的軌跡.請(qǐng)同學(xué)們思考：（1）在運(yùn)動(dòng)中，哪些量是不變的，哪些量是變化的？（2）能不能把不變的量用數(shù)學(xué)表達(dá)式表達(dá)出來？

3、（3）點(diǎn)（橢圓上的點(diǎn)）是以怎樣的規(guī)律進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的？（4）用這個(gè)規(guī)律能不能畫出一個(gè)橢圓？（二）動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，親身體會(huì)用上面所總結(jié)的規(guī)律，指導(dǎo)學(xué)生互相合作（主要在于動(dòng)手），體驗(yàn)畫橢圓的過程（課前準(zhǔn)備直尺、細(xì)繩、釘子、筆、紙板），并以此了解橢圓上的點(diǎn)的特征.請(qǐng)兩名同學(xué)上臺(tái)畫在黑板上.在本環(huán)節(jié)中并不是急于向?qū)W生交待橢圓的定義，而是設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)，一來是為了給學(xué)生一個(gè)創(chuàng)造實(shí)驗(yàn)的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生體會(huì)橢圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；二是通過實(shí)踐，為進(jìn)一步上升到理論做準(zhǔn)備.（三）歸納定義，完善定義我們通過動(dòng)畫演示，實(shí)踐操作，對(duì)橢圓有了一定的認(rèn)識(shí)，下面由同學(xué)們歸納橢圓的定義（學(xué)生分組討論）.橢圓定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的

4、和等于常數(shù)（大于=2c）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓在歸納橢圓定義的過程中，教師根據(jù)學(xué)生回答的情況，不斷引導(dǎo)他們逐步加深理解并完善橢圓的定義，在引導(dǎo)中突出體現(xiàn)“和”，“常數(shù)”及“常數(shù)”的范圍等關(guān)鍵詞與相應(yīng)的特征.如：總結(jié)動(dòng)畫演示中兩圓半徑之和（常數(shù)）得到橢圓上點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù).通過課件分別演示當(dāng)兩定點(diǎn)間距離等于線段長度時(shí)的軌跡（為一條線段）和當(dāng)兩定點(diǎn)距離大于線段長度時(shí)的軌跡（不存在），由學(xué)生完善橢圓定義中常數(shù)的范圍.教師指出：兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距.（四）合理建系，推導(dǎo)方程由學(xué)生自主提出建立坐標(biāo)系的不同方法，教師根據(jù)學(xué)生提出的“建系”方式，把學(xué)生分成若干組，分

5、別按不同的建系的方法推導(dǎo)方程，進(jìn)行比較，從中選擇比較簡(jiǎn)潔優(yōu)美的形式確定為標(biāo)準(zhǔn)方程.已知橢圓的焦距，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn),的距離之和為，求橢圓的方程.（1）以兩個(gè)定點(diǎn),所在直線為軸，線段的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，則（稱此式為幾何條件），所以得（實(shí)現(xiàn)集合條件代數(shù)化），化簡(jiǎn)，得注：這是本節(jié)的難點(diǎn)所在，通過課堂精心設(shè)問來突破難點(diǎn)：①化簡(jiǎn)含有根號(hào)的式子時(shí)，我們通常有什么方法？②對(duì)于本式是直接平方好呢還是恰當(dāng)整理后再平方？學(xué)生通過實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)對(duì)于這個(gè)方程，直接平方不利于化簡(jiǎn)，而整理后再平方，最后能得到圓滿的結(jié)果.（2）以線段中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為y軸建立平

6、面直角坐標(biāo)系，所得橢圓方程為：相比之下，其它的建系方式不夠簡(jiǎn)潔.同學(xué)們觀察右圖，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到線段AC中點(diǎn)時(shí)，兩圓半徑相等，即，因，則，不妨令，那么（1）（2）所得的橢圓方程可化為：，（1），（2）（在這里教師指出：我們剛才只是從“曲線的方程”的角度推導(dǎo)出了符合定義的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程，我們還需要從“方程的曲線”的角度來說明以方程(1)(2)的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線（橢圓）上，這個(gè)問題留給學(xué)生課后完成.）我們稱（1）（2）為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方程的理解：1.所謂橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一定指的是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)；2．在與這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有的要求，也就是說，焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上

7、，哪個(gè)對(duì)應(yīng)的分式的分母就較大.（五）應(yīng)用舉例，小結(jié)升華.例1.用定義判斷下列動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為橢圓.(1)平面內(nèi)，到的距離之和為6的點(diǎn)的軌跡.（是）(2)平面內(nèi)，到的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡.（不是）(3)平面內(nèi)，到的距離之和為3的點(diǎn)的軌跡.（不是）例2.方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍為：例3.已知橢圓方程為，則兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為：小結(jié)：由學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)到的知識(shí)和思想方法.1．知識(shí)總結(jié)：橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程2．思想方法總結(jié)：教師根據(jù)學(xué)生的總結(jié)做適當(dāng)補(bǔ)充