中考數(shù)學(xué)專練總復(fù)習(xí) 分式方程的解法及應(yīng)用（提高）知識講解

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1、分式方程的解法及應(yīng)用（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解分式方程的概念和檢驗根的意義，會解可化為一元一次方程的分式方程．2.會列出分式方程解簡單的應(yīng)用問題．【要點梳理】【高清課堂分式方程的解法及應(yīng)用知識要點】要點一、分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.要點詮釋：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).（2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程和整式

2、方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程.要點二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時，有時可能產(chǎn)生使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因為解分式方程時可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時必須驗根.解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當(dāng)分母是多項式時，先分解因式，再找出最簡公分母）；（2）解這個整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最

3、簡公分母不等于0，則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解.要點三、解分式方程產(chǎn)生增根的原因方程變形時，可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做原方程的增根.產(chǎn)生增根的原因：去分母時，方程兩邊同乘的最簡公分母是含有字母的式子，這個式子有可能為零，對于整式方程來說，求出的根成立，而對于原分式方程來說，分式無意義，所以這個根是原分式方程的增根.要點詮釋：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”時產(chǎn)生的.根據(jù)方程的同解原理，方程的兩邊都乘以（或除以）同一個不為0的

4、數(shù)，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的兩邊都乘以的數(shù)是0，那么所得方程與原方程不是同解方程，這時求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要檢驗根，這種檢驗與整式方程不同，不是檢查解方程過程中是否有錯誤，而是檢驗是否出現(xiàn)增根，它是在解方程的過程中沒有錯誤的前提下進(jìn)行的.要點四、分式方程的應(yīng)用分式方程的應(yīng)用主要就是列方程解應(yīng)用題.列分式方程解應(yīng)用題按下列步驟進(jìn)行：（1）審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）找出能夠表示題中全部含義的相等關(guān)系，列出分式方

5、程；（4）解這個分式方程；（5）驗根，檢驗是否是增根；6（6）寫出答案.【典型例題】類型一、判別分式方程【高清課堂分式方程的解法及應(yīng)用例1】1、下列各式中，哪些是分式方程？哪些不是分式方程？為什么？（1）（2）（3）（4）【答案與解析】解：（1）雖然方程里含有分母，但是分母里沒有未知數(shù)，所以不是分式方程；（2）具備分式方程的三個特征，是分式方程；（3）沒有等號，所以不是方程，它是一個代數(shù)式；（4）方程具備分式方程的三個特征，是分式方程．特別提醒：（3）題是一個代數(shù)式，不是方程，容易判斷錯誤；【總結(jié)升華】

6、整式方程與分式方程的區(qū)別在于分母里有沒有未知數(shù)，有未知數(shù)的就是分式方程，沒有未知數(shù)的就是整式方程．類型二、解復(fù)雜分式方程的技巧2、解方程：．【答案與解析】解：方程的左右兩邊分別通分，得，∴，∴，∴，或，由，解得，由，解得．6經(jīng)檢驗：，是原方程的根.【總結(jié)升華】若用常規(guī)方法，方程兩邊同乘，去分母后的整式方程的解很難求出來．注意方程左右兩邊的分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右兩邊分別通分的方法來解．舉一反三：【變式】解方程．【答案】解：移項得，兩邊同時通分得，即，因為兩個分式分子相同，分式值相等，則分

7、式分母相等．所以，，，，∴．檢驗：當(dāng)時，．∴是原方程的根．類型三、分式方程的增根【高清課堂分式方程的解法及應(yīng)用例3】3、（1）若分式方程有增根，求值；（2）若分式方程有增根，求的值．【思路點撥】（1）若分式方程產(chǎn)生增根，則，即或，然后把代入由分式方程轉(zhuǎn)化得的整式方程求出的值．（2）將分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程后，把代入解出的值.【答案與解析】6解：（1）方程兩邊同乘，得．∴．∴．由題意知增根為或，∴或．∴或．（2）方程兩邊同乘，得．∴．∴．∵增根為，∴．∴．【總結(jié)升華】(1)在方程變形中，有時可能產(chǎn)生不適合

8、原方程的根，這種根做作原方程的增根．在分式方程中，使最簡公分母為零的根是原方程的增根；(2)這類問題的解法都是首先把它們化成整式方程，然后由條件中的增根，求得未知字母的值．舉一反三：【變式】已知關(guān)于的方程無解，求的值．【答案】解：方程兩邊同乘約去分母，得，即．①∵，即時原方程無解，∴，∴．②∵當(dāng)時，整式方程無解，∴當(dāng)時，原方程無解．綜上所述，當(dāng)或時，原方程無解．類型四、分式方程的應(yīng)用【高清課堂分式方程的解法及應(yīng)用例3】4、某市在道路改造過程