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《第二節(jié)無阻尼自由振動》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第二章單自由度系統(tǒng)的自由振動第一節(jié)導(dǎo)引單自由度系統(tǒng)（Single-Degree-Freedomsystems）是最簡單的振動系統(tǒng)，又是最基本的振動系統(tǒng)。這種系統(tǒng)在振動分析中的重要性，一方面在于很多實際問題都可以簡化為單自由度系統(tǒng)來處理，從而可直接利用對這種系統(tǒng)的研究成果來解決問題；另一方面在于單自由度系統(tǒng)具有一般振動系統(tǒng)的一些基本特性，實際上，它是對多自由度系統(tǒng)、連續(xù)系統(tǒng)進行振動分析的基礎(chǔ)。所研究的振動都是微幅振動問題（微振動）。所謂微振動是指系統(tǒng)受到外界干擾后，系統(tǒng)各個質(zhì)點偏離靜平衡位置，僅作微小的往復(fù)振動。系統(tǒng)在振動過程中所受到的各種力將認為只與位移、速度等成線性關(guān)系，可以忽
2、略可能出現(xiàn)的高階微小量。例如單擺，其運動微分方程為把單擺作為線性系統(tǒng)研究，則令故有19第二節(jié)無阻尼自由振動的運動微分方程及其解自由振動（freevibration）是指在外界干擾下依靠系統(tǒng)本身的彈性恢復(fù)力所維持的振動。一、運動方程及其解最簡單的單自由度振動系統(tǒng)-----有一個質(zhì)量和一根彈簧（彈簧的剛度系數(shù)為，它是彈簧每伸長或縮短一個單位長度所需施加的力，單位為）組成的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。彈簧原長為。當系統(tǒng)在沒有振動時，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，稱為靜平衡。此時，系統(tǒng)在重力的作用下產(chǎn)生拉伸變形，稱為系統(tǒng)的靜變形。由靜力平衡條件有當系統(tǒng)受到外界某種初始擾動（例如用力將質(zhì)量塊偏離靜平衡位置后突然釋放
3、，或給質(zhì)量塊以突然一擊使之得到一個初始速度），使系統(tǒng)的靜平衡狀態(tài)遭到破壞，則彈簧力不再與重力平衡，從而產(chǎn)生不平衡的彈性恢復(fù)力，系統(tǒng)就依靠這種彈性恢復(fù)力在其靜平衡位置做往復(fù)運動，稱為自由振動。19建立坐標系：取靜平衡位置為坐標原點，用表示質(zhì)量塊由靜平衡位置算起的垂直位移，且規(guī)定方向向下為正。質(zhì)量塊在振動過程中任一瞬時位置的受力：不變的重力：彈簧力：根據(jù)牛頓運動定律，有則有（2-1）單自由度無阻尼系統(tǒng)自由振動的運動方程。兩點討論：（1）質(zhì)量塊的重力只對彈簧的靜變形有影響，即的大小只改變質(zhì)量塊的靜平衡位置，而不影響質(zhì)量塊在靜平衡位置附近作振動的規(guī)律。因此，當取靜平衡位置為坐標原點建立運
4、動微分方程時，在方程式（2-1）中就沒有重力項，同時也沒有由靜變形引起的彈簧力這一項。（2）方程式（2-1）中稱為彈性恢復(fù)力。它的大小和位移的大小成正比，方向始終與位移方向相反。因此，彈性恢復(fù)力的方向始終指向靜平衡位置，這是彈性恢復(fù)力的一個特點。19令則方程（2-1）可寫為（2-2）其通解為（2-3）式中為任意常數(shù)它由初始條件時和來確定。將初始條件代入方程中，得（2-4）它是由兩個相同頻率的簡諧運動組成，稱為系統(tǒng)對于初始條件為和的響應(yīng)。經(jīng)變換方程（2-4）該寫為（2-5）-----自由振動的振幅（amplitude），它表示質(zhì)量塊離開靜平衡位置的最大位移。-----初相位（ini
5、tialphase）。由上式可見，振幅和相位都取決于初始條件。這是自由振動的共同特點。19系統(tǒng)的固有圓頻率（naturalcircularfrequency）系統(tǒng)的固有頻率（naturalfrequency）系統(tǒng)的固有周期（period）固有頻率和周期決定與系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)：質(zhì)量和彈簧剛度，而與自由振動的初始條件無關(guān)。因此，一旦確定了系統(tǒng)的質(zhì)量和彈簧剛度，則系統(tǒng)的固有頻率就有一個確定的值。固有頻率是振動系統(tǒng)的一個重要參數(shù)，是進行振動分析或動態(tài)結(jié)構(gòu)設(shè)計必不可少的參數(shù)。注：方程（2-5）也可寫成如下形式19例題1：一卷揚機，通過鋼索和滑輪吊掛重物（如圖a所示）。重物重量W=1470
6、00N，以v=0.025m/s等速下降。如突然制動，鋼索上端突然停止。這時鋼索中的最大張力為多少？鋼索彈簧常數(shù)為k=5782×103N/m。(a)(b)(c)注意：解題時各物理量的單位要統(tǒng)一。解：在正常工作時，重物以等速下降，系統(tǒng)處于靜平衡狀態(tài)，鋼索的張力為T1=kΔ=W=147000N由于鋼索是一彈性體，系統(tǒng)可表示為圖（b）的形式。突然停止，把這一時刻作為事件的起點t=0，并以這一時刻重物靜平衡的位置作為坐標原點，則系統(tǒng)可簡化為圖（c）的模型。系統(tǒng)的振動微分方程為19系統(tǒng)的固有頻率為施加于系統(tǒng)的初始條件為代入，得A=0.00128(m)則由振動引起鋼索中的動張力為T2=kA=7
7、400.96(N)鋼索中的最大張力為T=T1+T2=154400.96(N)19例題2：有一彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)，如圖所示。有一質(zhì)量m從高度h處自由落下，落在質(zhì)量m1上。假設(shè)為彈性碰撞，且沒有反彈。試確定系統(tǒng)由此而發(fā)生的自由振動。（a）（b）（c）（d）注：圖（c）是振動起始時刻；圖（d）是振動系統(tǒng)的靜平衡位置，也即系統(tǒng)坐標原點位置。解：以m與m1碰撞這一時刻，作為時間的起點。取質(zhì)量m和m1與彈簧k形成的新系統(tǒng)的靜平衡位置為坐標原點，如圖（d）所示。質(zhì)量m自由落下距離h，其速度為質(zhì)量m
