第二節(jié)無(wú)阻尼自由振動(dòng)

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1、第二章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第一節(jié)導(dǎo)引單自由度系統(tǒng)（Single-Degree-Freedomsystems）是最簡(jiǎn)單的振動(dòng)系統(tǒng)，又是最基本的振動(dòng)系統(tǒng)。這種系統(tǒng)在振動(dòng)分析中的重要性，一方面在于很多實(shí)際問(wèn)題都可以簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng)來(lái)處理，從而可直接利用對(duì)這種系統(tǒng)的研究成果來(lái)解決問(wèn)題；另一方面在于單自由度系統(tǒng)具有一般振動(dòng)系統(tǒng)的一些基本特性，實(shí)際上，它是對(duì)多自由度系統(tǒng)、連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行振動(dòng)分析的基礎(chǔ)。所研究的振動(dòng)都是微幅振動(dòng)問(wèn)題（微振動(dòng)）。所謂微振動(dòng)是指系統(tǒng)受到外界干擾后，系統(tǒng)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)偏離靜平衡位置，僅作微小的往復(fù)振動(dòng)。系統(tǒng)在振動(dòng)過(guò)程中所受到的各種力將認(rèn)為只與位移、速度等成線性關(guān)系，可以忽

2、略可能出現(xiàn)的高階微小量。例如單擺，其運(yùn)動(dòng)微分方程為把單擺作為線性系統(tǒng)研究，則令故有19第二節(jié)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程及其解自由振動(dòng)（freevibration）是指在外界干擾下依靠系統(tǒng)本身的彈性恢復(fù)力所維持的振動(dòng)。一、運(yùn)動(dòng)方程及其解最簡(jiǎn)單的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)-----有一個(gè)質(zhì)量和一根彈簧（彈簧的剛度系數(shù)為，它是彈簧每伸長(zhǎng)或縮短一個(gè)單位長(zhǎng)度所需施加的力，單位為）組成的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。彈簧原長(zhǎng)為。當(dāng)系統(tǒng)在沒有振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，稱為靜平衡。此時(shí)，系統(tǒng)在重力的作用下產(chǎn)生拉伸變形，稱為系統(tǒng)的靜變形。由靜力平衡條件有當(dāng)系統(tǒng)受到外界某種初始擾動(dòng)（例如用力將質(zhì)量塊偏離靜平衡位置后突然釋放

3、，或給質(zhì)量塊以突然一擊使之得到一個(gè)初始速度），使系統(tǒng)的靜平衡狀態(tài)遭到破壞，則彈簧力不再與重力平衡，從而產(chǎn)生不平衡的彈性恢復(fù)力，系統(tǒng)就依靠這種彈性恢復(fù)力在其靜平衡位置做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，稱為自由振動(dòng)。19建立坐標(biāo)系：取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，用表示質(zhì)量塊由靜平衡位置算起的垂直位移，且規(guī)定方向向下為正。質(zhì)量塊在振動(dòng)過(guò)程中任一瞬時(shí)位置的受力：不變的重力：彈簧力：根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有則有（2-1）單自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。兩點(diǎn)討論：（1）質(zhì)量塊的重力只對(duì)彈簧的靜變形有影響，即的大小只改變質(zhì)量塊的靜平衡位置，而不影響質(zhì)量塊在靜平衡位置附近作振動(dòng)的規(guī)律。因此，當(dāng)取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立運(yùn)

4、動(dòng)微分方程時(shí)，在方程式（2-1）中就沒有重力項(xiàng)，同時(shí)也沒有由靜變形引起的彈簧力這一項(xiàng)。（2）方程式（2-1）中稱為彈性恢復(fù)力。它的大小和位移的大小成正比，方向始終與位移方向相反。因此，彈性恢復(fù)力的方向始終指向靜平衡位置，這是彈性恢復(fù)力的一個(gè)特點(diǎn)。19令則方程（2-1）可寫為（2-2）其通解為（2-3）式中為任意常數(shù)它由初始條件時(shí)和來(lái)確定。將初始條件代入方程中，得（2-4）它是由兩個(gè)相同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)組成，稱為系統(tǒng)對(duì)于初始條件為和的響應(yīng)。經(jīng)變換方程（2-4）該寫為（2-5）-----自由振動(dòng)的振幅（amplitude），它表示質(zhì)量塊離開靜平衡位置的最大位移。-----初相位（ini

5、tialphase）。由上式可見，振幅和相位都取決于初始條件。這是自由振動(dòng)的共同特點(diǎn)。19系統(tǒng)的固有圓頻率（naturalcircularfrequency）系統(tǒng)的固有頻率（naturalfrequency）系統(tǒng)的固有周期（period）固有頻率和周期決定與系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)：質(zhì)量和彈簧剛度，而與自由振動(dòng)的初始條件無(wú)關(guān)。因此，一旦確定了系統(tǒng)的質(zhì)量和彈簧剛度，則系統(tǒng)的固有頻率就有一個(gè)確定的值。固有頻率是振動(dòng)系統(tǒng)的一個(gè)重要參數(shù)，是進(jìn)行振動(dòng)分析或動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)必不可少的參數(shù)。注：方程（2-5）也可寫成如下形式19例題1：一卷?yè)P(yáng)機(jī)，通過(guò)鋼索和滑輪吊掛重物（如圖a所示）。重物重量W=1470

6、00N，以v=0.025m/s等速下降。如突然制動(dòng)，鋼索上端突然停止。這時(shí)鋼索中的最大張力為多少？鋼索彈簧常數(shù)為k=5782×103N/m。(a)(b)(c)注意：解題時(shí)各物理量的單位要統(tǒng)一。解：在正常工作時(shí)，重物以等速下降，系統(tǒng)處于靜平衡狀態(tài)，鋼索的張力為T1=kΔ=W=147000N由于鋼索是一彈性體，系統(tǒng)可表示為圖（b）的形式。突然停止，把這一時(shí)刻作為事件的起點(diǎn)t=0，并以這一時(shí)刻重物靜平衡的位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)，則系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為圖（c）的模型。系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為19系統(tǒng)的固有頻率為施加于系統(tǒng)的初始條件為代入，得A=0.00128(m)則由振動(dòng)引起鋼索中的動(dòng)張力為T2=kA=7

7、400.96(N)鋼索中的最大張力為T=T1+T2=154400.96(N)19例題2：有一彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)，如圖所示。有一質(zhì)量m從高度h處自由落下，落在質(zhì)量m1上。假設(shè)為彈性碰撞，且沒有反彈。試確定系統(tǒng)由此而發(fā)生的自由振動(dòng)。（a）（b）（c）（d）注：圖（c）是振動(dòng)起始時(shí)刻；圖（d）是振動(dòng)系統(tǒng)的靜平衡位置，也即系統(tǒng)坐標(biāo)原點(diǎn)位置。解：以m與m1碰撞這一時(shí)刻，作為時(shí)間的起點(diǎn)。取質(zhì)量m和m1與彈簧k形成的新系統(tǒng)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖（d）所示。質(zhì)量m自由落下距離h，其速度為質(zhì)量m