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1、第十一章高等結(jié)構動力學無阻尼自由振動§11.1振動頻率分析§11.2振型分析§11.3振動分析的柔度法§11.4軸向力的影響§11.5正交條件第十一章無阻尼自由振動§11.2振型分析運動方程可寫為（11-8）（11-9）其中§11.2振型分析§11.2振型分析（11-10）因此，是剛度矩陣減去；由于它與頻率有關，所以每一個振型是不同的，振動的形狀可以按照任何一個坐標所表示的各點的位移來確定。為此假定位移向量的第一個元素是一個單位幅值，即§11.2振型分析展開式(11-8)得（11-11a）§11.2振型分析（11-11b）（11-12）（11-13）求解得出位移幅值（11-14）從
2、而及§11.2振型分析N個振型形式所組成的方陣為：（11-15）（11-16）第n振型形式：§11.2振型分析利用式(11-14)求圖E11-1所示結(jié)構的振型來說明振型分析的方法,在例E11-1中結(jié)出了這個結(jié)構的振動矩陣,取該矩陣的第二和第三行,式(11-14)可寫成§11.2振型分析圖E11-2圖E11-1框架的振動特性§11.2振型分析振型2振型1該體系的三個振型計算如下:§11.2振型分析振型3其中各振型假定頂層質(zhì)量的位移為1?！?1.3振動分析的柔度法式(11-4)轉(zhuǎn)化為柔度矩陣為：頻率方程為：（11-17）（11-18）仿照式(11-6)計算方程的根。兩種解法唯一的區(qū)別是
3、(11-18)的根為頻率平方的倒數(shù)而不是頻率平方。§11.3振動分析的柔度法§11.4軸向力的影響自由振動：（11-19）（11-20）分析振型和頻率時只須將組合剛度矩陣代替彈性剛度矩陣。體系在軸向力作用下減小了結(jié)構的有效剛度，振型頻率也降低。頻率方程變?yōu)椋骸?1.4軸向力的影響§11.4軸向力的影響屈曲荷載（11-21）（11-22）（11-23）§11.4軸向力的影響把式(11-22)代入(11-21)得特征方程：（11-25）（11-24）在下述條件下能得出這組方程的非零解：§11.4軸向力的影響簡諧振動的屈曲假定有如下形式的荷載向量:（11-27）在此情形中,無阻尼運動方程
4、變成:（11-26）§11.4軸向力的影響（11-28b）由此,將作用荷載的頻率發(fā)生穩(wěn)態(tài)反應:加速度變成:（11-28a）§11.4軸向力的影響把式(11-28)代入(11-27)得（11-30a）用表示體系的動力剛度把它代入(11-29),并用表示幾何剛度,導出（11-30b）（11-29）§11.4軸向力的影響求解條件:當作用的荷載允許為零時,式(11-30b)可寫成(11-31)(11-32)§11.5正交條件基本條件利用Betti定律證明，例如圖11-1所示，考慮一個結(jié)構體系的兩個不同振型。§11.5正交條件圖11-1振型形式和產(chǎn)生的慣性力§11.5正交條件(11-33)其
5、中右面表示施加的荷載向量，左面表示彈性抗力。由Betti定律得把（11-33）代入得(11-34)體系自由振動時的運動方程§11.5正交條件考慮矩陣的乘積的轉(zhuǎn)置和m的對稱性，上式改寫為(11-35)在振型頻率不同的情況下得出第一個正交條件，對質(zhì)量正交。(11-36)§11.5正交條件用前乘式（11-33）直接導出第二個正交條件(11-37)即對于無量綱振型則正交條件表示為(11-38a)(11-38b)對等號右面應用式（11-36）時，顯然有§11.5正交條件附加關系式此式前乘導出由（11-38b）得到(11-39)(11-40)在式（11-33）中用連乘法直接推導附加正交關系式。
6、§11.5正交條件此式（11-39）兩邊前乘，導出(11-41)由（11-40）得到由（11-39）前乘以得到第二組的第一個附加關系式§11.5正交條件整理得到(11-42)同理可以得出很多類似關系式。所以包括兩個基本關系式在內(nèi)的完整的二族正交關系式間接的可以寫成（11-44）。(11-43)由（11-39）前乘以，得出(11-44)§11.5正交條件規(guī)格化(11-45)(11-46)(11-47)定義：如果一個自由度的幅值取1，并以這個指定的值為基準確定其他自由度的位移，這就叫做關于特定坐標的振型規(guī)格化。規(guī)格化需要滿足的條件利用一個標量因子來實現(xiàn)規(guī)格化計算。標量因子規(guī)格化計算§1
7、1.5正交條件(11-48)由這種類型的和規(guī)格化和與質(zhì)量矩陣相關的振型正交化公式（11-38b）可以得出此種方法得出關于只來那個矩陣的正交規(guī)格化振型?！?1.5正交條件例題E11-3通過例題E11-2中算得的振型力說明振型正交性和正交規(guī)格化方法。規(guī)格化因子其值為§11.5正交條件正交規(guī)格化的振型矩陣最后按（11-48）做乘法得§11.5正交條件關于剛度的定義剛度/彈性剛度幾何剛度聯(lián)合剛度動力剛度廣義剛度
