高中立體幾何問題的解法比較探究

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1、高中立體幾何問題的解法比較探究摘要：本研究首先結(jié)合國(guó)內(nèi)外專家、學(xué)者、一線教師發(fā)表的論文和專著，提出自己的思考，然后對(duì)幾何學(xué)的教育價(jià)值以及向量的進(jìn)入中學(xué)的過程及教材內(nèi)容的比較作研究綜述，試圖通過實(shí)例分析比較立體幾何問題解決中綜合法和向量法的不同功能，探討如何全面的看待綜合法與向量法，以期使二者的積極功能得以體現(xiàn)，希望對(duì)向量理論融入立體幾何課程的實(shí)踐提供一些依據(jù)。1、引言2、文獻(xiàn)綜述本文研究的是向量在高中數(shù)學(xué)立體幾何中的應(yīng)用，并結(jié)合綜合法對(duì)其進(jìn)行類比研究。運(yùn)用向量的平移、夾角、法向量等性質(zhì)將立體幾何中的點(diǎn)與線、點(diǎn)與面、線與線、線與面之間等問題轉(zhuǎn)化為純代數(shù)的問題，利用這種思想使問題簡(jiǎn)單化

2、，以達(dá)到讓學(xué)生能熟練地解決立體幾何問題的目的。3大綱》和《標(biāo)準(zhǔn)》中立體幾何內(nèi)容的比較研究文獻(xiàn)[1]通過構(gòu)建刻畫課程難度的數(shù)學(xué)模型定量比較了《標(biāo)準(zhǔn)》與《大綱》中立體幾何內(nèi)容的難度，并得出了“與《大綱》相比，《標(biāo)準(zhǔn)》中立體幾何部分內(nèi)容難度大大降低”，文獻(xiàn)[6]通過對(duì)《大綱》和《標(biāo)準(zhǔn)》中“空間向量與立體幾何”的內(nèi)容比較，認(rèn)為《標(biāo)準(zhǔn)》進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)“空間向量”的工具作用和應(yīng)用價(jià)值，鼓勵(lì)學(xué)生更多的理解“幾何代數(shù)化”的發(fā)展趨勢(shì)，向量可以幫助學(xué)生建立“多元多維的幾何認(rèn)識(shí)”。4.1.1立體幾何部分教學(xué)內(nèi)容比較與分析本文所研究的立體幾何部分舊教材包括數(shù)學(xué)第二冊(cè)(下B)的第九章，新教材包括數(shù)學(xué)2的第一、二

3、章和數(shù)學(xué)選修2-1的第三章。如表4-1所示：表4-1新、舊教材立體幾何教學(xué)內(nèi)容比較舊教材新教材第九章直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體9.1平面的基本性質(zhì)9.2空間的平行直線和異面直線9.3直線和平面平行與平面和平面平行9.4直線和平面垂直9.5空間向量及其運(yùn)算9.6空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算9.7直線和平面所成的角與二面角9.8距離9.9棱柱和棱錐9.10球第一章空間幾何體1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖1.3空間幾何體的表面積與體積第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)第三章

4、空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運(yùn)算3.2立體幾何中的向量方法通過比較，我們分析可得：1.新教材立體幾何的教學(xué)內(nèi)容與舊教材立體幾何的教學(xué)內(nèi)容相比有些差異。單從上邊看，高中數(shù)學(xué)新課程中“立體幾何”部分新增加了空間幾何體的結(jié)構(gòu)和空間幾何體的三視圖，舊教材立體幾何沒有這部分內(nèi)容。首先三視圖這些內(nèi)容與義務(wù)教育階段“空間與圖形”中的“視圖與投影”緊密銜接，增加這部分內(nèi)容的主要目的是進(jìn)一步認(rèn)識(shí)空間圖形，通過空間幾何體與其三視圖的互相轉(zhuǎn)化，對(duì)空間圖形有比較完整的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、幾何直觀能力，更全面地把握空間幾何體。通過觀察，學(xué)生可以感受空間幾何體的整體結(jié)構(gòu)，先從整體上認(rèn)識(shí)

5、空間幾何體，再深入認(rèn)識(shí)點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，這樣與學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律相符合。如在“空間幾何體的結(jié)構(gòu)”一節(jié)中，為了使學(xué)生能夠更好的認(rèn)識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)，教材要求對(duì)圖中的圖片進(jìn)行分類，并制定了分類標(biāo)準(zhǔn)：注意空間幾何體與平面圖形的聯(lián)系，觀察空間幾何體的每個(gè)面的特點(diǎn)，以及面與面之間的聯(lián)系。這樣在對(duì)空間幾何體進(jìn)行比較的過程中形成對(duì)柱、錐、臺(tái)、球結(jié)構(gòu)特征的直觀認(rèn)識(shí)。3．空間向量知識(shí)的介紹新、舊教材有差別。舊教材在“直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體”中對(duì)“空間向量及其運(yùn)算”以及“空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算”做了詳細(xì)的講解，這些內(nèi)容在新教材數(shù)學(xué)2中的立體幾何中沒有介紹，而是放在選修2-1的第三章“空間向量與立體幾何”中

6、介紹。分析其原因是舊教材重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生使用向量代數(shù)方法解決立體幾何問題的能力。在過去的立體幾何學(xué)習(xí)中，舊教材主要使用演繹推理來(lái)學(xué)習(xí)立體幾何，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。當(dāng)空間的平行、垂直性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量表達(dá)式（共線、共面向量定理、內(nèi)積運(yùn)算）和向量運(yùn)算后，學(xué)習(xí)重點(diǎn)就轉(zhuǎn)移到用向量方法解決立體幾何問題上來(lái)。因?yàn)閹缀伟l(fā)展的根本出路是代數(shù)化，所以引入向量研究幾何是幾何代數(shù)化的需要。使用舊教材的學(xué)生在高一已學(xué)習(xí)了平面向量，只要稍加推廣就可以得到空間向量運(yùn)算體系。首都師范大學(xué)碩士學(xué)位論文新教材的安排也有其道理，因?yàn)楦咧猩蠈W(xué)期的學(xué)習(xí)沒有提及過向量，本章的學(xué)習(xí)也只是幾何初步的學(xué)習(xí)，有些公理的推理證明也不需要

7、完全證明。4．從整套新教材來(lái)看，幾何教學(xué)的要求不是一步到位，而是分階段，分層次，多角度的。第一階段新教材對(duì)立體幾何知識(shí)做了初步介紹，介紹了柱體、錐體、臺(tái)體以及球的表面積和體積，介紹了線面、面面平行和垂直的判斷定理和性質(zhì)定理，但沒有完全給出證明。二面角的求解和線線、線面關(guān)系的判定定理以及三垂線定理的證明等知識(shí)在第二階段的“空間向量與立體幾何”的學(xué)習(xí)中作了介紹。舊教材中立體幾何的學(xué)習(xí)因?yàn)榧性凇爸本€、平面、簡(jiǎn)單幾何體”一章中學(xué)習(xí)，所以比較深入的學(xué)習(xí)了這些知識(shí)，新教材在第一