淺談數(shù)形結(jié)合應(yīng)用深化解題思想方法

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1、淺談數(shù)形結(jié)合應(yīng)用——深化解題思想方法瀘定縣第二中學(xué)校：李倫均摘要：數(shù)學(xué)的思想方法，是數(shù)學(xué)知識的精髓，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，也是數(shù)學(xué)科學(xué)的有機組成部分。由于數(shù)形結(jié)合法具有轉(zhuǎn)化抽象與直觀的作用，這一思想方法對分析解決某些問題往往有很大的幫助。但是學(xué)生容易忽略它的一些特點，從而產(chǎn)生錯誤或使問題復(fù)雜化。注重數(shù)形結(jié)合原則在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，加強學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方法的培養(yǎng)，使學(xué)生更加系統(tǒng)地掌搓和理解數(shù)學(xué)知識體系、結(jié)構(gòu)體系，增強其應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)和自身素質(zhì)，把數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)提高到一個更高

2、、更重要的層次，不斷深化數(shù)學(xué)科解題思想方法。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；思想方法；教學(xué)；能力思想是客觀存在反映在人的意識中經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果，方法是人們認識世界和改造世界所進行的活動方式、手段的統(tǒng)稱，任何一門學(xué)科在其發(fā)展過程中逐步形成一套研宄問題的思想和方法，數(shù)學(xué)這門學(xué)科也不例外。就中學(xué)數(shù)學(xué)的思想而言，主要有方程思想、函數(shù)思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)學(xué)模型思想、優(yōu)化思想、集合與對應(yīng)思想、概率與統(tǒng)計思想、歸納猜想思想等。縱觀近兒年來的高考數(shù)學(xué)試題，其特點是：無論是基礎(chǔ)題還是考查能力的綜合題，都

3、滲透了數(shù)學(xué)思想方法的考查，簡單的知識型、記憶型試題在試卷中日益減少，并加重了對數(shù)學(xué)思想方法與思維能力的考查。而在數(shù)學(xué)思想上乂著重于對函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、歸納與轉(zhuǎn)化的思想和分類討論思想的考查。為了更好的把數(shù)形結(jié)合應(yīng)用于教學(xué)中以適應(yīng)高考對數(shù)學(xué)思想的考查，就必須從學(xué)科整體含義和思想含義上立意，注重通性通法，淡化技巧，有效地檢測學(xué)生對中學(xué)數(shù)學(xué)知識中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度。1數(shù)形結(jié)合的概念、產(chǎn)生與發(fā)展所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，乂揭示其兒何直觀，使

4、數(shù)量關(guān)系與空間形式和諧地結(jié)合起來。換言之，就解決數(shù)學(xué)問題而言，借助圖形性質(zhì)來研究數(shù)量關(guān)系，或借助數(shù)量關(guān)系來研宄圖形性質(zhì)，即“數(shù)”與“形”和互轉(zhuǎn)化的解決數(shù)學(xué)問題的方法叫數(shù)形結(jié)合法。它是解析法、三角法、復(fù)數(shù)法、圖解法等方法的概括，其思維策略是把數(shù)和形這兩個數(shù)學(xué)研究的基本對象聯(lián)系起來作綜合考察，充分發(fā)揮代數(shù)和兒何等學(xué)科各自的理論優(yōu)勢，達到問題解決。深華其基本精神，就形成了數(shù)形結(jié)合的思想方法。其實，早在畢達哥拉斯（PythagorasofSamos,約公元前580-前500年）吋代，數(shù)形結(jié)合的思想就萌芽了，人們在

5、度量長度、面積、體積的過程中，就把數(shù)和形聯(lián)系起來了。畢達哥拉斯學(xué)派對數(shù)與形的關(guān)系冇特殊的理解：把單位1想象為一個點，由點的各種不同排列可以組合成各種圖形，而各種不同的圖形與相應(yīng)的數(shù)對應(yīng)。正是通過圖形與數(shù)字的聯(lián)系思考，畢達哥拉斯學(xué)派形成了“萬物皆數(shù)”的世界觀（后因不可公度量（不能表示為整數(shù)或整數(shù)之比的量）的發(fā)現(xiàn)而動搖）。我國古代數(shù)學(xué)家十分注重數(shù)形結(jié)合，公元3世紀魏晉著名數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》原序中說：“又所析理以辭，解體用圖，庶幾約而能周，通而不黷，覽之者思過半矣?！钡剿卧獏计冢ü?60-1368年）

6、，中國古典數(shù)學(xué)發(fā)展到了頂峰，系統(tǒng)地引進了幾何問題代數(shù)化的方法，用代數(shù)式或描述某些幾何特征，圖形中的幾何關(guān)系表達成代數(shù)之間的代數(shù)關(guān)系。17世紀上半葉，法國數(shù)學(xué)家笛卡兒，通過坐標系建立了數(shù)與形的聯(lián)系，創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，開辟了數(shù)形結(jié)合的新紀元,從而使數(shù)形結(jié)合思想發(fā)生了質(zhì)的飛躍。此后，利用數(shù)形結(jié)合加深了對某些數(shù)學(xué)問題的理解，借助代數(shù)方法把古希臘吋代著名的幾何尺規(guī)作圖三人難題（三等分角、化圓為方、倍立方體）圓滿解決。由于數(shù)和形的內(nèi)在聯(lián)系，許多代數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析的課題具冇鮮明的直觀性，而II往往由于借用了幾何術(shù)語或運用

7、了與幾何的類比，進而開拓了新的發(fā)展方向。例如，線性代數(shù)正是使用了幾何學(xué)中的空間、線性等概念與類比方法，把自己充實起來，從而獲得了迅猛的發(fā)展。2數(shù)與形相結(jié)合的意義和實質(zhì)數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)發(fā)展中的具冇重要意義。著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授關(guān)于數(shù)形結(jié)合的問題冇一段精辟的論述：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數(shù)缺形吋少直覺，形少數(shù)吋難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非?！贝送猓▏鴶?shù)學(xué)家拉格朗日（Lagrange）也認為：“W要代數(shù)同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄，但是當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)合成伴

8、侶吋，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善?！睌?shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個最基本的概念，是數(shù)學(xué)的兩塊基石?？梢哉f全部內(nèi)容和方法都是圍繞這兩個基本的概念的提煉、演變、發(fā)展而展開的。在數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展進程中，數(shù)與形常常結(jié)合在一起，內(nèi)容上互相聯(lián)系，方法上互相滲透，在一定的條件下相互轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合，作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，其實質(zhì)是在分析問題的過程，注意把數(shù)和形結(jié)合起來考察，根據(jù)問題的具體情形，把圖形性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問