淺談數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的幾點(diǎn)應(yīng)用

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1、淺談數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的幾點(diǎn)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽彖思維為形彖思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷.所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形Z間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：①實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；②函數(shù)打圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系；③曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來(lái)的概念，如復(fù)數(shù)、三角兩數(shù)等；⑤所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的兒何

2、意義。數(shù)與形是一對(duì)矛盾，它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”兩個(gè)方而，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用形式大體可分為代數(shù)問(wèn)題的兒何解法與兒何問(wèn)題的代數(shù)解法兩個(gè)方面。木文試從函數(shù)圖像和兒何圖形兩個(gè)方面，舉例說(shuō)明“以形助數(shù)”在解決問(wèn)題中的一些妙用.一、利用數(shù)形結(jié)合思想解決集合的問(wèn)題.1、利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問(wèn)題.-?般用圓來(lái)表示集合，兩圓相交則表示兩集合有公共元素，兩圓相離則表示兩個(gè)集合沒(méi)有公共元索.若利用韋恩圖法則能直觀地解答冇關(guān)集合Z間的關(guān)系的問(wèn)題.例如：例1、有48名學(xué)生，每人至少參加一個(gè)活動(dòng)小組，參加數(shù)、理、化小組的人數(shù)分別為28,25,15,

3、同時(shí)參加數(shù)、理小組的8人，同時(shí)參加數(shù)、化小組的6人，同時(shí)參加理、化小組的7人，問(wèn)：同時(shí)參加數(shù)、理、化小組的有多少人？分析：我們可用圓A、B、C分別表示參加數(shù)理化小組的人數(shù)(如圖1),貝9三圓的公共部分正好表示同時(shí)參加數(shù)理化小組的人數(shù).用n表示集合的元素，則有：n(A)+n(B)+n(C)-n(A門(mén)B)-n(AAC)-n{BPlC)+n(AABAC)=48即：28+25+15-8-6-7+/t(AnBnC)=48???n(A"B"C)=1,即同時(shí)參加數(shù)理化小組的有「人.2、利用數(shù)軸解決集合的冇關(guān)運(yùn)算和集合的關(guān)系問(wèn)題.如：當(dāng)幾個(gè)集合的解集是不等

4、式形式，要求它們的交集或并集時(shí)，經(jīng)常借助于數(shù)軸，把不等式的解集在數(shù)軸表示出來(lái)，通過(guò)數(shù)軸觀察它們的交集或并集，這樣比較直觀，例如：例2、已知集合A={x-l3a>-要使BcA,當(dāng)a>0時(shí)集合A應(yīng)該覆蓋集合B,應(yīng)有成立(3。53,即OvgMI。G>0當(dāng)a<0時(shí),B=0,顯然BeA成立.故BeA時(shí)的取值范圍為：a

5、<(圖2②)①q3交點(diǎn)在(-l,l)z間,必須滿足條件：,/(-1)>050即2/(1)>0a-4=0的兩實(shí)根之間，試求?L-。與￡應(yīng)滿足的關(guān)系式.分析：我們可聯(lián)想對(duì)應(yīng)的二次兩數(shù)y,=x(d+l)?>0+2ax+k/y2=x2+2ax-^a-4的草圖(圖4).這兩個(gè)函數(shù)圖像都是開(kāi)口向上，形狀相同門(mén)有公共對(duì)稱軸的拋物線(如圖).要使方程x2+2ax+k=0的兩實(shí)根在方程/+2or+a—4=0的兩實(shí)根之間，則對(duì)應(yīng)的兩數(shù)圖像必與兀軸的交點(diǎn)應(yīng)在兩數(shù)圖像兒與x軸的交點(diǎn)之內(nèi)，它等價(jià)于拋物線必的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)不大于零H?大于拋物線為的頂點(diǎn)縱處標(biāo).由配方方法

6、可知y與力的頂點(diǎn)分別為：P](―a,—/+?),&(—+a—4)故一/+a—4v—cr+k50.故可求出a與R應(yīng)滿足的關(guān)系式為:a-4

7、解的個(gè)數(shù)的情況.分析：我們可把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)y]=x2-^y2=k+l圖像(圖6)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況，因兩數(shù)y2=k+l表示平行于x軸的所有直線，從圖像口J以直觀看出：①當(dāng)k<-時(shí)，x與力沒(méi)有交點(diǎn)，這吋原方程無(wú)解;②當(dāng)k=-[時(shí)，x與力有兩個(gè)交點(diǎn)，原方程有兩個(gè)不同的解;③當(dāng)-1vRv0時(shí)，必與力有四個(gè)不同交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有四個(gè);④當(dāng)k=0時(shí)，X與力有三個(gè)交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有三個(gè);⑤當(dāng)k>0時(shí)X與y2有兩個(gè)交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)冇三個(gè).3、利用二次函數(shù)的圖像求一元二次不等式的解集.求一元二次不等式的解集時(shí)，只要聯(lián)想對(duì)應(yīng)

8、的二次函數(shù)的圖像，確定拋物線的開(kāi)口方向和與％軸的交點(diǎn)情況，便可肓觀地看出所求不等式地解集.例如：例7、解不等式Jx+2>xx>0分析：本題若用常規(guī)解法，要分兩種情形：（/）<乂+