淺談數(shù)形結合思想在數(shù)學解題中的幾點應用

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1、淺談數(shù)形結合思想在數(shù)學解題中的幾點應用數(shù)形結合是數(shù)學解題中常用的思想方法，數(shù)形結合的思想可以使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化，能夠變抽彖思維為形彖思維，有助于把握數(shù)學問題的本質。另外，由于使用了數(shù)形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷.所謂數(shù)形結合，就是根據(jù)數(shù)與形Z間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的思想，實現(xiàn)數(shù)形結合，常與以下內容有關：①實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關系；②函數(shù)打圖像的對應關系；③曲線與方程的對應關系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復數(shù)、三角兩數(shù)等；⑤所給的等式或代數(shù)式的結構含有明顯的兒何

2、意義。數(shù)與形是一對矛盾，它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”兩個方而，數(shù)形結合思想的應用形式大體可分為代數(shù)問題的兒何解法與兒何問題的代數(shù)解法兩個方面。木文試從函數(shù)圖像和兒何圖形兩個方面，舉例說明“以形助數(shù)”在解決問題中的一些妙用.一、利用數(shù)形結合思想解決集合的問題.1、利用韋恩圖法解決集合之間的關系問題.-?般用圓來表示集合，兩圓相交則表示兩集合有公共元素，兩圓相離則表示兩個集合沒有公共元索.若利用韋恩圖法則能直觀地解答冇關集合Z間的關系的問題.例如：例1、有48名學生，每人至少參加一個活動小組，參加數(shù)、理、化小組的人數(shù)分別為28,25,15,

3、同時參加數(shù)、理小組的8人，同時參加數(shù)、化小組的6人，同時參加理、化小組的7人，問：同時參加數(shù)、理、化小組的有多少人？分析：我們可用圓A、B、C分別表示參加數(shù)理化小組的人數(shù)(如圖1),貝9三圓的公共部分正好表示同時參加數(shù)理化小組的人數(shù).用n表示集合的元素，則有：n(A)+n(B)+n(C)-n(A門B)-n(AAC)-n{BPlC)+n(AABAC)=48即：28+25+15-8-6-7+/t(AnBnC)=48???n(A"B"C)=1,即同時參加數(shù)理化小組的有「人.2、利用數(shù)軸解決集合的冇關運算和集合的關系問題.如：當幾個集合的解集是不等

4、式形式，要求它們的交集或并集時，經常借助于數(shù)軸，把不等式的解集在數(shù)軸表示出來，通過數(shù)軸觀察它們的交集或并集，這樣比較直觀，例如：例2、已知集合A={x-l3a>-要使BcA,當a>0時集合A應該覆蓋集合B,應有成立(3。53,即OvgMI。G>0當a<0時,B=0,顯然BeA成立.故BeA時的取值范圍為：a

5、<(圖2②)①q3交點在(-l,l)z間,必須滿足條件：,/(-1)>050即2/(1)>0a-4=0的兩實根之間，試求?L-。與￡應滿足的關系式.分析：我們可聯(lián)想對應的二次兩數(shù)y,=x(d+l)?>0+2ax+k/y2=x2+2ax-^a-4的草圖(圖4).這兩個函數(shù)圖像都是開口向上，形狀相同門有公共對稱軸的拋物線(如圖).要使方程x2+2ax+k=0的兩實根在方程/+2or+a—4=0的兩實根之間，則對應的兩數(shù)圖像必與兀軸的交點應在兩數(shù)圖像兒與x軸的交點之內，它等價于拋物線必的頂點縱坐標不大于零H?大于拋物線為的頂點縱處標.由配方方法

6、可知y與力的頂點分別為：P](―a,—/+?),&(—+a—4)故一/+a—4v—cr+k50.故可求出a與R應滿足的關系式為:a-4

7、解的個數(shù)的情況.分析：我們可把這個問題轉化為確定函數(shù)y]=x2-^y2=k+l圖像(圖6)交點個數(shù)的情況，因兩數(shù)y2=k+l表示平行于x軸的所有直線，從圖像口J以直觀看出：①當k<-時，x與力沒有交點，這吋原方程無解;②當k=-[時，x與力有兩個交點，原方程有兩個不同的解;③當-1vRv0時，必與力有四個不同交點，原方程不同解的個數(shù)有四個;④當k=0時，X與力有三個交點，原方程不同解的個數(shù)有三個;⑤當k>0時X與y2有兩個交點，原方程不同解的個數(shù)冇三個.3、利用二次函數(shù)的圖像求一元二次不等式的解集.求一元二次不等式的解集時，只要聯(lián)想對應

8、的二次函數(shù)的圖像，確定拋物線的開口方向和與％軸的交點情況，便可肓觀地看出所求不等式地解集.例如：例7、解不等式Jx+2>xx>0分析：本題若用常規(guī)解法，要分兩種情形：（/）<乂+