數(shù)列與不等式證明專題

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1、數(shù)列與不等式證明專題復(fù)習(xí)建議：1．“巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算中非常重要，但用“基本量法”并樹(shù)立“目標(biāo)意識(shí)”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運(yùn)用條件，又要時(shí)刻注意題的目標(biāo)，往往能取得與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果2．歸納——猜想——證明體現(xiàn)由具體到抽象，由特殊到一般，由有限到無(wú)限的辯證思想．學(xué)習(xí)這部分知識(shí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，計(jì)算能力，熟悉歸納、演繹的論證方法，提高分析、綜合、抽象、概括等思維能力，都有重大意義．3．解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以

2、及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項(xiàng)等方法來(lái)分析、解決問(wèn)題．4．?dāng)?shù)列與解析幾何的綜合問(wèn)題解決的策略往往是把綜合問(wèn)題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再利用數(shù)列知識(shí)和方法求解．證明方法：（1）先放縮后求和；（2）先求和后放縮(3)靈活運(yùn)用例1．?dāng)?shù)列(Ⅰ)求并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)證明：當(dāng)分析：本題給出數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系，且要對(duì)n分奇偶性。解:(Ⅰ)因?yàn)樗砸话愕?，?dāng)時(shí)，＝，即所以數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，因此當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此故數(shù)列

3、的通項(xiàng)公式為(Ⅱ)由(Ⅰ)知，①②①-②得，所以要證明當(dāng)時(shí)，成立，只需證明當(dāng)時(shí)，成立.證法一(1)當(dāng)n=6時(shí)，成立.(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即則當(dāng)n=k+1時(shí)，由(1)、(2)所述，當(dāng)n≥6時(shí)，.即當(dāng)n≥6時(shí)，證法二令，則所以當(dāng)時(shí)，.因此當(dāng)時(shí)，于是當(dāng)時(shí)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)評(píng)：本題奇偶分類要仔細(xì)，第（2）問(wèn)證明時(shí)可采用分析法。例題2.已知為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列{an}的首項(xiàng).(1)求函數(shù)的表達(dá)式；⑵求證：；⑶求證：分析：本題是借助函數(shù)給出遞推關(guān)系，第（2）問(wèn)的不等式利用了函數(shù)的性質(zhì)，第（3）問(wèn)是轉(zhuǎn)化成可以裂項(xiàng)的形式，這是

4、證明數(shù)列中的不等式的另一種出路。解：⑴又∵為銳角∴∴∴⑵∵∴都大于0∴∴⑶∴∴∵,,又∵∴∴∴點(diǎn)評(píng)：把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成清晰的問(wèn)題是數(shù)學(xué)中的重要思想，本題中的第（3）問(wèn)不等式的證明更具有一般性。例題3.已知數(shù)列滿足（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，證明：是等差數(shù)列；（Ⅲ）證明：分析：本例（1）通過(guò)把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列；第（2）關(guān)鍵在于找出連續(xù)三項(xiàng)間的關(guān)系；第（3）問(wèn)關(guān)鍵在如何放縮解：（1），故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。，（2），①②②—①得，即③④④—③得，即所以數(shù)列是等差數(shù)列（3）設(shè)，則點(diǎn)評(píng)：

5、數(shù)列中的不等式要用放縮來(lái)解決難度就較大了，而且不容易把握，對(duì)于這樣的題要多探索，多角度的思考問(wèn)題。例題4.已知函數(shù),數(shù)列滿足,;數(shù)列滿足,.求證:（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）若則當(dāng)n≥2時(shí),.分析：第（1）問(wèn)是和自然數(shù)有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；第（2）問(wèn)可利用函數(shù)的單調(diào)性；第（3）問(wèn)進(jìn)行放縮。解：(Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明,.（1）當(dāng)n=1時(shí),由已知得結(jié)論成立;（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即.則當(dāng)n=k+1時(shí),因?yàn)?

6、0<.故當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立.即對(duì)于一切正整數(shù)都成立.又由,得,從而.綜上可知(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)g(x)=-f(x)=,0g(0)=0.因?yàn)?所以,即>0,從而(Ⅲ)因?yàn)?所以,,所以————①由(Ⅱ)知:,所以=,因?yàn)?n≥2,所以<<=————②由①②兩式可知:.點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列、超越函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的學(xué)歸納法的知識(shí)交匯題，屬于難題，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起注意。例題5.已知函數(shù)f(x)=，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足=l，．(1)試比較與的大小，并說(shuō)明理由；(2)設(shè)

7、數(shù)列滿足=－，記Sn=．證明：當(dāng)n≥2時(shí),Sn＜(2n－1)．分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。解：(1)，因?yàn)樗裕?）因?yàn)樗?因?yàn)樗耘c同號(hào)，因?yàn)?，…，即?）當(dāng)時(shí)，，所以，所以點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)、不等式的綜合題，是高考的難點(diǎn)熱點(diǎn)。例題6.已知數(shù)列中，，．（1）求；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)；（3）設(shè)數(shù)列滿足，求證：分析：條件中有類似于前n項(xiàng)和的形式出現(xiàn)，提示我們應(yīng)該考慮an＝Sn－Sn－1(n≥2)解：（1）（2）①②①—②得即：，所以所以（3）由（2）得：，所以是單調(diào)遞增數(shù)列，故要證：

8、只需證若，則顯然成立;若，則所以,因此：所以,所以點(diǎn)評(píng)：與數(shù)列相關(guān)的不等式證明通常需要“放縮”，而放縮的“度”尤為關(guān)鍵，本題中,這種拆分方法是數(shù)學(xué)中較高要求的變形.例題7.已知不等式其中為不大于2的整數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù)。設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為正且滿足，證明：，分析：由條件得：……以上各式兩邊分別相加得：=本題由題設(shè)條件