淺談數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用

《淺談數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。

1、淺談數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用摘要：數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)中很重要的一種思想方法，它主要是通過(guò)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，它包含以形助數(shù)和以數(shù)解形兩個(gè)方面.利用它可使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，它兼有數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)與形的直觀之長(zhǎng)，是優(yōu)化解題過(guò)程的重要途徑之一，是一種基本的數(shù)學(xué)方法。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想以形助數(shù)以數(shù)解形“數(shù)形結(jié)合”是初中數(shù)學(xué)中的一種重要的思想方法，“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念。數(shù)是數(shù)量關(guān)系的體現(xiàn)，形是空間形式的體現(xiàn)，兩者是對(duì)立統(tǒng)一的，我們?cè)谔接憯?shù)量關(guān)系時(shí)常常借助于圖形直觀地去研究；而在研究圖形時(shí)，乂常借助于圖形間隱含的數(shù)量關(guān)系去求

2、解。即將數(shù)與形靈活地轉(zhuǎn)換，運(yùn)用彼此間的相互聯(lián)系和作用，去有效地探求問(wèn)題的解答，我認(rèn)為這就是數(shù)形結(jié)合的思想方法。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家力?事非”，“數(shù)”與“形”反映了事物兩個(gè)方面的屬性。我認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合主要指的是數(shù)與形Z間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的兒何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)朵問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽彖問(wèn)題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。I大I此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，注意滲透這方面的思想，引導(dǎo)學(xué)生要善于將兩者

3、巧妙地結(jié)合起來(lái)分析問(wèn)題，讓學(xué)生在不斷感悟中開(kāi)闊和發(fā)展思維，為達(dá)到快速、有效地解決問(wèn)題奠定良好的基礎(chǔ)。一、解決實(shí)數(shù)問(wèn)題數(shù)軸的引入是實(shí)數(shù)內(nèi)容體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的有力證明，因?yàn)閿?shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。因此兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較，可以通過(guò)它們?cè)跀?shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置進(jìn)行判斷，相反數(shù)與絕對(duì)值則可通過(guò)相應(yīng)的數(shù)軸上的點(diǎn)與原點(diǎn)的位置關(guān)系來(lái)刻劃。例1：在數(shù)軸上的位置如圖,化簡(jiǎn)：Ia-b

4、-1b-c

5、+21a+c

6、o解：Vb<0,c<0,b>c,a>b,

7、c

8、>

9、a?：a~b>0,b~c>0,a+c<0o

10、a~b

11、-1b-c

12、+2

13、a+c

14、=(a~b)-(b-c)-2(a+c)=-

15、a-2b~Co利用數(shù)軸的直觀性，結(jié)合實(shí)數(shù)絕對(duì)值的幾何意義,結(jié)果易得，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合在解題中的直觀與簡(jiǎn)明。E—麗飛此外不等式的解集也很好地反映了數(shù)形結(jié)合思想。如求不等式兀+12?8的非正整數(shù)解。利用數(shù)軸將不等式的解集兀》-4在數(shù)軸上直觀地表示出來(lái)，使學(xué)生形象地看到X、"4的數(shù)有無(wú)限多個(gè)，但滿足條件的非正整數(shù)只有-4、-3、-2、-1、0五個(gè)，說(shuō)明數(shù)形結(jié)合更能深刻地反映不等式解集的兒何意義。14116???18121例2：求和：S二丄+丄+丄+丄+??????+丄24816256引導(dǎo)學(xué)生觀察所求式了，發(fā)現(xiàn)后一項(xiàng)均為麗一項(xiàng)的丄，而丄又止好22是1的一半，由此想到構(gòu)造一個(gè)

16、面積為1的正方形，再將其不斷地等1255分……如圖所示，從而得到S=l-—=—256256二、解決應(yīng)用題問(wèn)題例3、甲、乙兩地相距23千米，A從甲地到乙地，在乙地停留20分鐘后，又從乙地冋到甲地；B從乙地到甲地，在甲地停留30分鐘后，乂從甲地返冋到乙地，若A、B同時(shí)從甲、乙兩地出發(fā)，經(jīng)過(guò)5小時(shí)后，在他們各自返回的路上相遇，如果A的速度比B的速度快3千米/小時(shí)，求兩人的速度。分析：這是一道已知條件十分復(fù)雜的應(yīng)用題，將數(shù)與形結(jié)合，借助圖形來(lái)分析，就一直觀、清楚多了。A、B所走的路程可用下圖表示：從圖中可清楚地看到，A、B兩人從出發(fā)到最后和遇止好共走完了甲、乙兩地間距離

17、的3倍，即等量關(guān)系為：A走的路程+B走的路程二23X3。如果設(shè)B每小時(shí)走兀千米，則A每小吋走x+3千米，ft］于兩人途中都停留了一段時(shí)間,A實(shí)際走(5—)小時(shí)，B實(shí)際走(5—)小32時(shí)，由此就不難列!1!方程:(x+3)(5—)+x(5—)—23x3,32得llx=6(千米/小時(shí)),x+3=9(千米/小時(shí))由此可見(jiàn)，數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，確實(shí)能為解題帶來(lái)方便，它能使抽象的問(wèn)題形象化、直觀化，復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，兩者之間的互助與聯(lián)通能開(kāi)辟出解題捷徑，是一種有效的解題策略。三、解決不等式問(wèn)題例4已知：OVaVl,OVbVl.求證：+b~+J(]-+/?_+J/+(]_b

18、y+J(]-+(]-/?)_n2V2此題通過(guò)化簡(jiǎn)不等式左邊也可得證，但比較繁雜，可引導(dǎo)學(xué)牛試用簡(jiǎn)便些的方法去求解，觀察所給代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，含有明顯的幾何意義，若能結(jié)合不等式左邊式子的特點(diǎn),將數(shù)的形式與形的特征聯(lián)系起來(lái)構(gòu)想，你會(huì)發(fā)現(xiàn)其形式與勾股定理相吻合，從而想到構(gòu)造直角三角形，利用“形”的特點(diǎn)來(lái)幫助解決“數(shù)”的問(wèn)題。分析：求證的不等式左邊的每一項(xiàng)都可以視為一個(gè)直角三角形的斜邊，所證的四個(gè)二次根式Z和大于等于2血，可以看作分成兩組線段Z和不小于血即可，而血可以由邊長(zhǎng)為1的止方形的對(duì)角線作出來(lái)。證明：如圖，作邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD,在AB上取點(diǎn)E,使AE二°；在AD

19、上取點(diǎn)G,使AG二b,過(guò)