函數(shù)的凸性及應(yīng)用文獻(xiàn)綜述

《函數(shù)的凸性及應(yīng)用文獻(xiàn)綜述》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。

1、文獻(xiàn)綜述函數(shù)的凸性及應(yīng)用一、前言部分（說明寫作的目的，介紹有關(guān)概念、綜述范圍，扼要說明有關(guān)主題爭論焦點）凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)。對函數(shù)凹凸性的研究，在數(shù)學(xué)分析的多個分支都有用處。特別是在函數(shù)圖形的描繪和不等式的推導(dǎo)方面，凸函數(shù)都有著十分重要的作用。凸函數(shù)的定義，最早是由Jersen給出的。各文獻(xiàn)中對凸函數(shù)的定義不盡相同，在大學(xué)的數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)教材中，常常只研究具有二階導(dǎo)數(shù)的凸函數(shù)。本文首先給出凸函數(shù)的定義以及對凸函數(shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行總結(jié)。然后由基本性質(zhì)進(jìn)行延伸，進(jìn)一步給出凸函數(shù)的應(yīng)用。對于凸函數(shù)的應(yīng)用，本文擬將主要介紹以下的幾點：凸函數(shù)在證明Jensen不等式時的應(yīng)

2、用；凸函數(shù)在Hadamard不等式中的證明的應(yīng)用；凸函數(shù)在分析不等式中的應(yīng)用等。二、主題部分（闡明有關(guān)主題的歷史背景、現(xiàn)狀和發(fā)展方向，以及對這些問題的評述）凸函數(shù)具有一些非常優(yōu)良的性質(zhì)[1]，有著較好的幾何和代數(shù)性質(zhì)，在數(shù)學(xué)各個領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用。1905年丹麥數(shù)學(xué)家Jensen首次給出了凸函數(shù)的定義，經(jīng)過近百年努力，凸函數(shù)的研究在各個方面正得到長足的發(fā)展，在現(xiàn)代學(xué)習(xí)和生活中的重要性已經(jīng)不斷的凸顯出來。凸函數(shù)是一類非常重要的函數(shù)，應(yīng)用函數(shù)的凸性，不僅可以科學(xué)、準(zhǔn)確的描述函數(shù)的圖像，而且也有證明不等式的凸函數(shù)方法，同時，凸函數(shù)也是優(yōu)化問題中重要的研究對象，它研究的內(nèi)

3、容非常豐富，研究的結(jié)果也在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，所以研究凸函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用就顯得尤為重要。2.1凸函數(shù)的定義2.1.1凸函數(shù)一些基本定義通過數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)，對于函數(shù)和的圖像，我們很容易看出它們之間的不同點：曲線上任意兩點間的弧段總在這兩點連線的下方；而曲線則相反，在任意兩點間的弧段總在這兩點連線的上方。通過這兩個函數(shù)，我們把前一種特性的曲線稱為凸的，后一種為凹的。對于凸的我們稱其函數(shù)為凸函數(shù)。9數(shù)學(xué)分析[2]給出了凸函數(shù)的基本定義：設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對上的任意兩點，和任意實數(shù)總有,則稱為上的凸函數(shù)。葛麗萍[3]介紹了以下的結(jié)論：若區(qū)間上的任意三點，總存在，

4、這個條件是為上的凸函數(shù)的充要條件，該證明在數(shù)學(xué)分析中已經(jīng)詳細(xì)的給出了。同理，通過推廣，可以得出另一個更進(jìn)一步的充要條件：在區(qū)間上的任意三點，有成立，則為上的凸函數(shù)。并且若為區(qū)間上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則在上為凸函數(shù)的充要條件為。2.1.2嚴(yán)格凸函數(shù)的定義江芹,陳文略[4]給出了嚴(yán)格凸函數(shù)的定義并且討論了區(qū)間上嚴(yán)格凸函數(shù)的判定方法。定義：凸函數(shù)的定義為函數(shù)滿足以下不等式，其中為區(qū)間上的函數(shù)，，為上的任意兩點和。當(dāng)上面的不等式變?yōu)闀r，其余條件不變，該函數(shù)稱為嚴(yán)格凸函數(shù)。判定方法：1、設(shè)為區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)，在上嚴(yán)格遞增，則在區(qū)間上是嚴(yán)格凸函數(shù)。反之，不成立；2、設(shè)為區(qū)間上二階可導(dǎo)函

5、數(shù),在上.則在區(qū)間上是嚴(yán)格凸函數(shù)。2.1.3凸函數(shù)的等價描述林銀河[5]詳細(xì)論述了凸函數(shù)的等價描述，由此得出：若在上有定義，則以下3個命題等價：在上為凸函數(shù)；，，有；，且不全為零，有9。其中命題就是著名的Jensen不等式。在Jensen不等式中令就得到如下定義：設(shè)在區(qū)間上有定義，稱為上的凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)有。葛麗萍[3]介紹了函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)的等價條件：若為區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，可得出以下等價條件。（1）為上的凸；（2）為上的增函數(shù)；（3）對上的任意兩點，，有。2.2凸函數(shù)的一些性質(zhì)2.2.1凸函數(shù)的連續(xù)性凸函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一類重要函數(shù)，而函數(shù)的連續(xù)性又是函數(shù)性態(tài)的一項

6、基本而又重要的特征。由于Jensen定義中并沒有對函數(shù)作出連續(xù)性及可導(dǎo)性假設(shè)，Jensen意義下凸函數(shù)并不一定是連續(xù)函數(shù)，而連續(xù)函數(shù)也不一定是凸函數(shù)，從凸函數(shù)的定義出發(fā)，研究連續(xù)函數(shù)與凸函數(shù)的關(guān)系。那么我們就會提出這樣的問題：當(dāng)連續(xù)函數(shù)滿足何種條件時，是區(qū)間上的凸函數(shù)；當(dāng)凸函數(shù)滿足何種條件時，是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)；連續(xù)凸函數(shù)在區(qū)間上具有何種性質(zhì)？例如函數(shù)，我們?nèi)菀鬃C明在上是凸函數(shù)，但在上不連續(xù)。存在函數(shù)，可以得出函數(shù)在上是連續(xù)的，但是函數(shù)在上不是凸函數(shù)。上面這個例題說明凸函數(shù)并不一定是連續(xù)函數(shù)，而連續(xù)函數(shù)也不一定是凸函數(shù)。宋方[6]提出，如果連續(xù)函數(shù)為凸函數(shù)，必定滿足以

7、下定義：對任意的及，恒有：。例：證明連續(xù)函數(shù)是一個凸函數(shù)。分析：因為，只要存在就能說明函數(shù)是一個凸函數(shù)。顯然能夠找到滿足條件的9性質(zhì)[7]：若在區(qū)間上連續(xù)，且滿足或其中，則是上的凸函數(shù)。2.2.2凸函數(shù)的微積分性質(zhì)劉鴻基，張志宏[8]指出凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，有著較好的分析性質(zhì)，而關(guān)于凸函數(shù)，一般教材大都從幾何意義方面引出定義，描述為：凸曲線弧段上任意兩點聯(lián)結(jié)而成的弦，總是位于曲線弧段的下方；或者，當(dāng)曲線各點處存在切線時，凸曲線弧全部位于曲線上各點處切線的下方。前者往往作為定義使用，后者是凸函數(shù)的充分必要條件，也可以作為定義作用。劉鴻基，張志宏[8