對一道向量題的變式探究及反思

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1、42上海中學數(shù)學·2014年第6期對一道向量題的變式探究及反思215011江蘇省蘇州高新區(qū)第一中學蔡瑩向量是新教材改革增加的內(nèi)容之一，是近代數(shù)一、問題呈現(xiàn)學中很重要和基本的數(shù)學概念之一，向量因具有代數(shù)和幾何的雙重性特征，在代數(shù)和幾何中起到重要(2008年浙江理一9)已知a、6是平面內(nèi)兩個互的橋梁作用．近幾年的高考及各地的模擬試卷中，出相垂直的單位向量．若向量C滿足(n—c)·(b—C)現(xiàn)了很多向量的小題，解法靈活多樣，而學生卻往往一0，則IC}的最大值是()望而生畏，這就需要教師引導學生站在更高層次上A．1B．2C．厄去研究題目，“去偽存真”

2、，挖掘題目的背景及本質(zhì)．D．焦2眾所周知，一個命題與其逆否命題是等價的．所再存在了，同時“條件和結論互換后的命題”又產(chǎn)生以原命題的其他三個命題的構造有錯．了新的默認．那么，是哪一個命題構造錯了呢?錯誤的原因構造一個命題的逆命題時會有兩種情況．又是什么呢?情況1“原命題中的默認”與“將原命題中的錯因分析：原命題中，若“石>怕”，意味著“再條件和結論互換后得到的命題的默認”相同，這種情況下構造原命題的逆命題時只需要“將原命題中的>幅”為真，條件是“√口>怕”必須有意義，隱含著大條件和結論互換”．前提“口≥0，6≥o”，因此，原命題的完整表述應該是

3、：情況2“原命題中的默認”與“將原命題中的已知n≥o，6≥o，若√口>怕，則口>b．條件和結論互換后得到的命題中的默認”不同，此時在這種情況下其逆否命題應該是：構造原命題的逆命題時必須將“原命題中的默認條已知口≥0，6≥o，若口≤6，則√口≤怕．件”顯性化，并將“原命題中的默認條件”作為整個命這顯然是真命題，與原命題等價．錯解中所構造題的大前提，這樣構造出來的逆命題才是正確的．在的逆否命題中缺少了大前提“口≥0，6≥o”，所以是錯這種情形下，構造逆命題時往往需要將原命題進行誤的．改寫．同樣，構造逆命題及否命題時，也需要加上大前一個命題的否命題

4、及逆否命題的構造方式與逆提“已知口≥0，6≥0”．命題的構造方式相同．那么，條件“已知口≥0，6≥o”是從哪里來的?所以，命題“若√五>怕，則a>6”的其他三個命中學數(shù)學中有一種“默認”，即在一個問題中，給題的構造如下．定的條件總有意義．例如，給出函數(shù)3I=lg(z一1)，如果沒有特殊說明就意味著“z>1”．一般情況下，逆命題“已知口≥0，6≥o，若口>6，則石>怕”，給出的函數(shù)解析式中，如沒有特別說明，其定義域真命題．就是解析式有意義的自變量的取值范圍，這就是否命題“已知a≥o，6≥o，若石≤萬，則n≤6”，默認．真命題．再如，式子lg．r

5、+lgx等于lgx2，其默認條件是逆否命題“已知a≥0，b≥0，若a≤b，則知≤“x>0”，但是式子lgx2卻不等于219x，而應該等于怕”，真命題．219Izl．因為lgx2中的默認條件是“z≠0”．練習以下問題，可以加深體會．一般地，命題“若P則q”的默認就是“命題P”練習寫出以下命題的逆命題，否命題及逆否。為真的條件．命題，并判斷其真假：目前教材及課堂教學中所出現(xiàn)的相關示例，構1．若口>b，則√口>如．造一個命題的逆命題往往就是將條件和結論互換．殊不知，條件和結論互換后“原命題中的默認”就不2．若lgx>lgy，貝Ⅱz>y．上海中學數(shù)學

6、·2014年第6期段AB為直徑的圓，再利用ICI的幾何意義求原點到二、解法軌跡圓上的點的距離最大值．思路1：對條件(n—C)·(b—C)一0進行代數(shù)四、變式變形，利用數(shù)量積的定義展開得到ICI關于夾角的函數(shù)關系式，利用函數(shù)知識求得lcI最大值．變式1已知三、若是平面內(nèi)兩個夾角為60。的單解法1：由(a—c)·(b—c)一0得口·b—a·位向量．若向量；滿足(：一；)·‘(’b--4c)----0，則I；I的c—c·b+C2=0，即c·(n+6)一C2(*)．記c與口最大值是——．+b的夾角為口，則(*)式可化為ICl—Ia+bcos0解：如圖

7、2，設三=蕊，舌=魂，；=√2cos矧2(當口=oo取“=”)．=乙i芒，貝0三--一C一℃者，一b一；=℃蠻．又思路2：條件“a、b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單(口一C)·(b—c)=0，．。．CAJ-∞，即位向量”具有明顯的坐標背景，可由“坐標法”探求點C的軌跡是以AB為直徑的圓M．到C(起點在坐標原點)的終點C的軌跡，再由lcI的由題意，△OAB是邊長為1的正三圖21上廳幾何意義即軌跡上的點與原點距離得最大值．一角形，故IcI。。=oM+，．一—ITiq—O．解法2：建立平面直角坐標系，不妨設a=(1，0)，b一(0，1)，c一(z，y)．

8、由(n—C)·(b—c)=0得評注：①變式1也可以借助坐標法加以轉化，1(1--x)(--x)+(一y)(1一y)=0，即(z一÷)2+(y此時可設三一(1，o)，