數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用

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1、共19頁河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院本科畢業(yè)論文第19頁數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用陳勇河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級2班摘要：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)研究和學(xué)習(xí)中的重要思想和解題方法,用數(shù)形結(jié)合方法可以使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化；能夠變抽象的數(shù)學(xué)語言為直觀的圖形、抽象思維為形象思維,有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。所謂數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,既分析其代數(shù)含義,又揭示其幾何直觀,使數(shù)量關(guān)系與空間形式和諧結(jié)合在一起的方法。它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面。數(shù)與形是中學(xué)數(shù)學(xué)研究的兩類基本對象,既相

2、互獨立,又互相滲透。尤其在坐標系[1]建立以后數(shù)與形的結(jié)合更加緊密,而且在數(shù)學(xué)應(yīng)用中若就數(shù)而論缺乏直觀性,若就形論缺乏嚴密性,當二者結(jié)合往往可優(yōu)勢互補,收到事半功倍的效果。本文試從函數(shù)圖像和幾何圖形兩個方面,舉例說明“以形助數(shù)”在解決數(shù)學(xué)問題中的一些妙用。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；數(shù)形結(jié)合；以形助數(shù)；以數(shù)輔形§1引言1.1數(shù)形結(jié)合思想的背景早在數(shù)學(xué)萌芽時期,人們在度量長度、面積和體積的過程中,就把數(shù)和形聯(lián)系起來了。我國宋元時期,系統(tǒng)地引進了幾何問題代數(shù)化的方法,用代數(shù)式描述某些幾何特征,把圖形之間的幾何關(guān)系表達成代數(shù)式之間的代數(shù)關(guān)系。17世紀上半葉,法國

3、數(shù)學(xué)家笛卡兒以坐標為橋梁,在點與數(shù)對之間、曲線與方程之間建立起來對應(yīng)關(guān)系,用代數(shù)方法研究幾何問題,從而創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。后來,幾何學(xué)中許多長期不能解決的問題,例如立方倍積、三等分任意角、化圓為方等問題,最終也借助于代數(shù)方法得到了完滿的解決。即使在近代和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究中,幾何問題的代數(shù)化也是一條重要的方法原則,有著廣泛的應(yīng)用。初等數(shù)學(xué)歷來被劃分為代數(shù)和幾何兩大分支,前者偏重于數(shù)的分析,而后者則偏重于形的研究。但是今天人們越來越認識到：僅有代數(shù)的思想而無圖形的直觀,或者雖然有直觀的圖形而缺少數(shù)據(jù)的分析,許多數(shù)學(xué)問題都難以高質(zhì)有效的解決。形是數(shù)的翅膀,

4、數(shù)是形的靈魂[2]。1.2數(shù)形結(jié)合思想的作用和意義在現(xiàn)實世界中,形與數(shù)是不可分離的結(jié)合在一起的,這是直觀與抽象的集合,感知與思維相結(jié)合的體現(xiàn)。形與數(shù)相結(jié)合不僅是數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要,也是加深對數(shù)學(xué)知識理解,發(fā)展智力,培養(yǎng)能力的需要。數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一個有力工具,也是中學(xué)數(shù)學(xué)中極為重要的基本方法之一[3]指導(dǎo)教師：趙勇學(xué)生：陳勇共19頁河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院本科畢業(yè)論文第19頁。通過數(shù)形結(jié)合可將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀圖形相結(jié)合,使抽象思維與形象思維相結(jié)合,縮短思維鏈,簡化思維過程。數(shù)形結(jié)合中的數(shù)應(yīng)廣義的理解為解析式,函數(shù),復(fù)數(shù)等；其中形

5、可以是點集空間圖形,進而使數(shù)形結(jié)合的思想方法煥發(fā)生機和活力,使應(yīng)用范圍不斷拓寬和深化。由此可見,數(shù)形結(jié)合對發(fā)展學(xué)生由抽象到直觀,再由直觀到抽象的思維是多么的重要。數(shù)形結(jié)合思想偏重于將某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化,生動化,能夠變抽象思維為形象思維,這樣就有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；使用數(shù)形結(jié)合的方法很多問題便迎刃而解且解法簡潔,運用數(shù)形結(jié)合思想不僅容易直觀的發(fā)現(xiàn)解題途徑,而且能避免復(fù)雜的計算與推理,很大程度上簡化解題過程,這在解選擇題填空題時更顯其優(yōu)越。“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)的基本研究對象,他們之間存在著對立辯證統(tǒng)一的關(guān)系。數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想,是

6、人們認識、理解、掌握數(shù)學(xué)的意識,它是我們解題的重要手段,是根據(jù)代數(shù)與圖形之間的關(guān)系,認識研究對象的數(shù)學(xué)特征,尋求解決問題的方法的一種數(shù)學(xué)思想。它是在一定的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上形成的,它對理解、掌握、運用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法,解決數(shù)學(xué)問題能起到促進和深化的作用[4]。美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過:“掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題?！敝挥袑?shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹并達到融會貫通時,才能提出新看法、巧解法[5]。中、高考試題十分重視對于數(shù)學(xué)思想方法的考查,其解答過程都蘊含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。我們要有意識地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問題、解決問題,形成一

7、種內(nèi)在能力,提高數(shù)學(xué)素質(zhì),使自己具有數(shù)學(xué)頭腦和眼光。而數(shù)形結(jié)合思想又顯得格外重要和實用。數(shù)形結(jié)合思想在實際應(yīng)用[6]中顯得十分重要和廣泛,數(shù)形結(jié)合思想幾乎貫穿了整個解析幾何,可以說數(shù)形結(jié)合思想是解析幾何的精髓所在。恩格斯曾說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)。”數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,既分析其代數(shù)意義,又揭示其幾何直觀,使數(shù)量關(guān)系的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起,充分利用這種結(jié)合,尋找解題思路,使問題化難為易、化繁為簡,從而得到解決?！皵?shù)”與“形”是一對矛盾,宇宙間萬物無不是“數(shù)”和

8、“形”的矛盾的統(tǒng)一。華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事休?！睌?shù)形結(jié)合的關(guān)鍵是代數(shù)問題與幾何圖