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《關(guān)于分式遞推數(shù)列的項(xiàng)數(shù)和周期性研究》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、關(guān)于分式遞推數(shù)列的項(xiàng)數(shù)和周期性研究一6數(shù)學(xué)教學(xué)2011年第7期關(guān)于分式遞推數(shù)列的項(xiàng)數(shù)和周期性研究200240上海市閔行第二中學(xué)毛六明1.問(wèn)題提出文…對(duì)分式遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式,單調(diào)性已有闡述,而對(duì)這類(lèi)數(shù)列是有窮數(shù)列還是無(wú)窮數(shù)列,周期性如何未涉及,是一個(gè)空白.在一些市,區(qū)的高三模擬卷中常會(huì)看到類(lèi)似這樣的題目:(1)若數(shù)列{0孔)滿(mǎn)足al=0,an+1=(Inn(EN),當(dāng)0=1時(shí),得到無(wú)窮數(shù)列:1,2,罷,11詈,…;當(dāng)0=一吉時(shí),得到有窮數(shù)列:一去,一1,0,問(wèn)a為何值時(shí),數(shù)列{0].有4項(xiàng).(2)若數(shù)列{0n)滿(mǎn)足al=2,0葉l=#(n∈N),則可得該數(shù)列的前2011項(xiàng)的乘積01?0
2、2'03'''''a2olo'a2Oll===——.本文從這兩個(gè)小問(wèn)題出發(fā),研究分式遞推數(shù)列的項(xiàng)數(shù)和周期性,探索這類(lèi)數(shù)列具有有窮性和周期性的條件.2.數(shù)列為有窮數(shù)列2.1思考的方法很顯然,問(wèn)題(1)中數(shù)列為有窮數(shù)列,則最后一項(xiàng)必為0,因?yàn)?不在定義域內(nèi)而終止.否則必不是有窮數(shù)列,也即為無(wú)窮數(shù)列{0).如a=一去時(shí),得到3項(xiàng)的有窮數(shù)列,為使數(shù)列{n)增加1項(xiàng),只要nl=0,02=一去,且02=上,Za10得n=一魯,得到4項(xiàng)的有窮數(shù)列,……,依次倒推,a的適當(dāng)取值可以產(chǎn)生5,6,……等任意項(xiàng)的有窮數(shù)列,所以首項(xiàng)a的取值決定了數(shù)列的項(xiàng)數(shù).那么n取哪些值,是有窮數(shù)列呢?可以采用反函數(shù)的思想解
3、決,數(shù)列的本質(zhì)是函數(shù),數(shù)列遞推式也是函數(shù)迭代式.如原數(shù)列對(duì)應(yīng)的迭代函數(shù)f(x)=,易求反函數(shù)1f()=÷,對(duì)應(yīng)的數(shù)列遞推式是b=,首項(xiàng)bl當(dāng)然取0,數(shù)列(6}:0,一1,一吉,一詈,…,0取數(shù)列{6)中的任意一個(gè)數(shù),都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列{0竹]..換句話說(shuō),0取其他的值得到的是無(wú)窮數(shù)列,由分式遞推關(guān)系的數(shù)列通項(xiàng)求法,可知=其中m=,m2:+_,:下v/-~_3,其中佗的意義是數(shù)列{0).的項(xiàng)數(shù)(具體求法略去).2.2探求數(shù)列為有窮的條件問(wèn)題一般化:對(duì)數(shù)列{n)滿(mǎn)足al=00,an+1=(其中c≠0,.d—bc≠……①當(dāng)00取哪些值時(shí),數(shù)列{0}為有窮項(xiàng).受問(wèn)題(1)的解法啟發(fā),可以先
4、求數(shù)列①對(duì)應(yīng)函數(shù)f(x)=—ax+b的反函數(shù),為f-1x)=C+n—--dx—+b,為使數(shù)列f0}成為有窮項(xiàng),最后一項(xiàng),'必是一.記ao的取值數(shù)列為{6),應(yīng)有b=,首項(xiàng)61一一一d.{6)仍然為分式CO"一1一ac遞推數(shù)列,可以利用不動(dòng)點(diǎn)的方法求它的通項(xiàng),此數(shù)列的每一項(xiàng)即n0的取值.引用文【1】公式:an=—ml丁--二二_m2o~kn一-I,其中ml,m2為不動(dòng)點(diǎn),(a—d)土n1,2一————————一':二.al—m2:二里:.0一m2c(a+d)+v/(a-d)2+4bc為求數(shù)列{].的通項(xiàng),可以比較數(shù)列{6)和數(shù)列{0)遞推關(guān)系對(duì)應(yīng)的字母,C,6不變,a,2011年第7期數(shù)
5、學(xué)教學(xué)一d的值分別替換了一d,一0,易得相關(guān)參數(shù):{口n)(6)不動(dòng)點(diǎn)相同ml,m2ml,m2一d.a一,/,(一d+口)+4bck互為a+d-,/,(0一d)+4bc—d一0+,//(一d+口).+4bc倒數(shù)口+d+,/,(.一d)+4bc——1首項(xiàng)al(待求)b=一譬=—bl-—ml61一m2～al—ml一(aTd)+,//a—d).+4bcal一"2(a-t-d)-,//(a-d)+4bcl=一,,右一一(刪存===苛1'一f÷l.?..一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)m,首零..:==云+,∈N;有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn),n.::二:奏,仇,有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn),n0=———_?,仇l,1一(1)m2為不動(dòng)點(diǎn),m1,2
6、:—(a—-d—)—~—v/(a--—d)—2+一4bc,=篆a{d4bc,其中n的意義(+)+,//(口一d)+,'～3.1問(wèn)題(2)的另類(lèi)解法問(wèn)題(2)的遞推式結(jié)構(gòu)有形式0+1:-l+an,l—n"有點(diǎn)像兩角和的正切公式特例:tan(+)=1+tan,啟發(fā)用構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列t,,其中an=tanOn,很顯然這是可以做到的,因?yàn)閠an0竹的值域是一切實(shí)數(shù),雖然對(duì)應(yīng)的有多,但不妨礙數(shù)列_[n)的唯一性.所以有0n+1=,tan札+=1二+tanOn=tan(+n)..'.al=tan01./,..?n=tanz=tan(+),1+taln0.03===—1—-——t—a—n~21+tan
7、(0+)卜tan(t+)_tan(+2×),.=tan(+)=tan[+c咒一17F](可以用數(shù)學(xué)歸納法證之),廣1an+4=tanl1+(n—l7rf=nn,故數(shù)列a禮)是周期為4自數(shù)列.從而解奢原題.3.2探索推廣對(duì)問(wèn)題(2)的解答推廣,注意到遞推式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),聯(lián)系到/(x)=tan(x)是周期為丌的函數(shù),我們可以很容易地構(gòu)造出周期為自然數(shù)的分式遞推數(shù)列,如:(1)數(shù)列a)滿(mǎn)足01=2,=,它的周期T=3,=tan(5)+an,(3)數(shù)列&
