橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程富源縣第二中學(xué)李雄西

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1、富源縣第二中學(xué)李雄西橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程如何精確地設(shè)計(jì)、制作、建造出現(xiàn)實(shí)生活中這些橢圓形的物件呢？生活中的橢圓一.課題引入：行星運(yùn)行的軌道我們的太陽(yáng)系2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程問題1：圓的幾何特征是什么？平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓。圓的形成問題2：如果我們將圓定義中的一個(gè)定點(diǎn)改變成兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的定長(zhǎng)改變成動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定長(zhǎng)。那么，將會(huì)形成什么樣的軌跡曲線呢？數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)(1)取一條細(xì)繩，(2)把它的兩端固定在板上的兩點(diǎn)F1、F2(3)用鉛筆尖（M）把細(xì)繩拉緊，在板上慢慢移動(dòng)看看畫出的圖形F1F2（1）在畫出一個(gè)橢圓的過(guò)程中

2、，F(xiàn)1、F2的位置是固定的還是運(yùn)動(dòng)的？（2）在畫橢圓的過(guò)程中，繩子的長(zhǎng)度變了沒有？說(shuō)明了什么？（3）在畫橢圓的過(guò)程中，繩子長(zhǎng)度與兩定點(diǎn)距離大小有怎樣的關(guān)系？想一想F1F2M︳F1F2︱=2c︱MF1︳+︱MF2︳=2a2a>2c思考若2a<2c，則軌跡為＿＿＿＿。若2a=2c，則軌跡為＿＿＿＿。線段不存在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于

3、F1F2

4、)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距．橢圓的定義F1F2M橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的__________________________的點(diǎn)的軌跡

5、叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的_____，_______________叫做橢圓的焦距．想一想：在橢圓定義中，將“大于

6、F1F2

7、”改為“等于

8、F1F2

9、”或“小于

10、F1F2

11、”的常數(shù)，其他條件不變，點(diǎn)的軌跡是什么？自學(xué)導(dǎo)引1．距離之和等于常數(shù)(大于

12、F1F2

13、)焦點(diǎn)兩焦點(diǎn)間的距離小結(jié)（1）：滿足幾個(gè)條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓？平面上----這是大前提動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和是常數(shù)2a常數(shù)2a要大于焦距2C(2a>2c)探究:感悟:(1)若

14、MF1

15、+

16、MF2

17、>

18、F1F2

19、,M點(diǎn)軌跡為橢圓.(1)已知A(-3,0),B(3,0),M點(diǎn)到

20、A,B兩點(diǎn)的距離和為10,則M點(diǎn)的軌跡是什么?(2)已知A(-3,0),B(3,0),M點(diǎn)到A,B兩點(diǎn)的距離和為6,則M點(diǎn)的軌跡是什么?(3)已知A(-3,0),B(3,0),M點(diǎn)到A,B兩點(diǎn)的距離和為5,則M點(diǎn)的軌跡是什么?橢圓線段AB不存在(3)若

21、MF1

22、+

23、MF2

24、<

25、F1F2

26、,M點(diǎn)軌跡不存在.(2)若

27、MF1

28、+

29、MF2

30、=

31、F1F2

32、,M點(diǎn)軌跡為線段.化簡(jiǎn)列式設(shè)點(diǎn)建系標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)?探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案建立平面直角坐標(biāo)系通常遵循的原則：“對(duì)稱”、“簡(jiǎn)潔”O(jiān)xyOxyOxyMF1F2方案一Oxy方案二F1F2MOxy化簡(jiǎn)列式設(shè)點(diǎn)建

33、系F1F2xy以F1、F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系．P(x,y)設(shè)P(x，y)是橢圓上任意一點(diǎn)設(shè)

34、F1F2

35、=2c，則有F1(-c，0)、F2(c，0)F1F2xyP(x,y)橢圓上的點(diǎn)滿足

36、PF1

37、+

38、PF2

39、為定值，設(shè)為2a，則2a>2c則：設(shè)得即：O標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)b2x2+a2y2=a2b2它表示：①橢圓的焦點(diǎn)在x軸②焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1（-C，0）、F2（C，0）③c2=a2-b2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程⑴F1F2M0xy橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程⑵它表示:①橢圓的焦點(diǎn)在y軸②焦點(diǎn)是F1（0，-c）、F2（0，c）③c2=a2-b2x

40、MF1F2yO觀察下圖，你能從中找出表示c,a,的線段嗎？(課本33頁(yè)思考)PF1F2Oxy因?yàn)閏2=a2－b2所以cab思考：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),它的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的呢橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程12yoFFMxyxoF2F1M定義圖形方程焦點(diǎn)F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之間的關(guān)系c2=a2-b2

41、MF1

42、+

43、MF2

44、=2a小結(jié)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程___________________________________焦點(diǎn)坐標(biāo)_____________________________a、b、c的關(guān)系c2＝______(a＞

45、b＞0)(a＞b＞0)(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)a2－b22．自學(xué)引導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的再認(rèn)識(shí)：（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是1；（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)a、b、c始終滿足c2=a2-b2（不要與勾股定理a2+b2=c2混淆）；（3）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個(gè)參數(shù)a、b、c的值；（4）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與y2的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)在哪一個(gè)軸上.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)(1)a、b、c三個(gè)基本量滿足a2＝b2＋c2且a>b>0，其中2a表示橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和，可借助如圖所示的幾何特征理解并記

46、憶．(2)利用標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)的位置的方法是看大小，即看x2，y2的分母的大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)