淺談實(shí)變函數(shù)

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1、現(xiàn)代分析基礎(chǔ)課程論文姓名：吳禹均學(xué)號：116110001115學(xué)院：自動化學(xué)院指導(dǎo)教師：姚洪亮日期：2016年12月一.前言為了能夠使我們更快地從木科牛的基礎(chǔ)過渡到研究牛的水平，在研一的上半學(xué)期學(xué)校為我們開設(shè)了現(xiàn)代分析基礎(chǔ)的課程，本學(xué)期是由姚洪亮老師為我們講授實(shí)變函數(shù)的有關(guān)知識。通過姚洪亮老師為期10周的講解加上自身對本課程的學(xué)習(xí)，拓寬了我的知識面，并為今后的學(xué)習(xí)打下了牢固的基礎(chǔ)。以實(shí)數(shù)作為自變量的實(shí)變函數(shù)與數(shù)學(xué)分析是緊密相連的，實(shí)變函數(shù)也是泛函分析的基礎(chǔ)，而泛函分析與我們控制專業(yè)的聯(lián)系是千絲萬縷的。本學(xué)期所學(xué)習(xí)的實(shí)變函數(shù)論的內(nèi)容主要包括集合與點(diǎn)集、Lebesgue測度、可測函數(shù)、Lebes

2、gue積分、Lebesgue空間和微分與不等式等。下面我將談?wù)剬W(xué)習(xí)完這些主要知識后帶給我的一些感受。二、認(rèn)識實(shí)變函數(shù)實(shí)變函數(shù)是微積分學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，它的基礎(chǔ)是點(diǎn)集論。因此課程最開始先接觸到的就是集合與點(diǎn)集的有關(guān)知識。點(diǎn)集論是專門研究點(diǎn)所成的集合的性質(zhì)的理論。也可以說實(shí)變函數(shù)論是在點(diǎn)集論的基礎(chǔ)上研究分析數(shù)學(xué)中的一些最基本的概念和性質(zhì)的。比如，點(diǎn)集函數(shù)、序列、極限、連續(xù)性、可微性、積分等。實(shí)變函數(shù)論還要研究實(shí)變函數(shù)的分類問題、結(jié)構(gòu)問題。實(shí)變函數(shù)論的積分理論研究各種積分的推廣方法和它們的運(yùn)算規(guī)則。由于積分歸根到底是數(shù)的運(yùn)算，所以在進(jìn)行積分的時候，必須給各種點(diǎn)集一個數(shù)量上的概念，這個概念叫做測度。因

3、此，在課程的第二部分，姚老師就為我們引入了測度的概念。簡單地說，一條線段的長度就是它的測度。測度概念對于實(shí)變函數(shù)論十分重要。集合的測度這個概念是由法國數(shù)學(xué)家Lebesgue提出來的。為了推廣積分概念，1893年，約當(dāng)在他所寫的《分析教程》中，提出了“約當(dāng)容度”的概念并用來討論積分。1898年，法國數(shù)學(xué)家波萊爾把容度的概念作了改進(jìn)，并把它叫做測度。波萊爾的學(xué)生Lebesgue后來發(fā)表《積分、長度、面積》的論文，提出了“Lebesgue測度”、“Lebesgue積分”的概念。Lebesgue還在他的論文《積分和圓函數(shù)的研究》中，證明了有界函數(shù)黎曼可積的充分必要條件是不連續(xù)點(diǎn)構(gòu)成一個零測度集，這就

4、完全解決了黎曼可積性的問題。Lebesgue積分是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一個積分概念，它將積分運(yùn)算擴(kuò)展到任何測度空間中。在最簡單的情況下，對一個非負(fù)值的函數(shù)的積分可以看作是求其函數(shù)圖像與軸Z間的面積。Lebesgue積分則將積分運(yùn)算擴(kuò)展到其它函數(shù)，并且也擴(kuò)展了可以進(jìn)行積分運(yùn)算的函數(shù)的范圍。最早對積分運(yùn)算的定義是對于非負(fù)值和足夠光滑的函數(shù)來說，其積分相當(dāng)于使用求極限的手段來計算一個多邊形的面積。但是隨著對更加不規(guī)則的函數(shù)的積分運(yùn)算的需要不斷產(chǎn)生，很快就產(chǎn)生了對更加廣義的求極限手段的要求來定義相應(yīng)的積分運(yùn)算。Lebesgue積分可以推廣到無界函數(shù)的情形，這個時候所得積分是絕對收斂的，后來又推廣到積分可以不

5、是絕對收斂的。從這些就可以看出，Lebesgue積分比起由柯西給出后來乂由黎曼發(fā)揚(yáng)的積分定義廣大多了。也可以看出，實(shí)變函數(shù)論所研究的是更為廣泛的函數(shù)類。自從維爾斯特拉斯證明連續(xù)函數(shù)必定可以表示成一致收斂的多項(xiàng)式級數(shù)，人們就認(rèn)清連續(xù)函數(shù)必定可以解析地表達(dá)出來，連續(xù)函數(shù)也必定可以用多項(xiàng)式來逼近。這樣，在實(shí)變函數(shù)論的領(lǐng)域里乂出現(xiàn)了逼近論的理論。舉例來說，如果能把A類函數(shù)表示成B類函數(shù)的極限，就說A類函數(shù)能以B類函數(shù)來逼近。如果已經(jīng)掌握了B類函數(shù)的某些性質(zhì)，那么往往可以由此推出A類函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)。逼近論就是研究一類函數(shù)用另一類函數(shù)來逼近、逼近的方法、逼近的程度、在逼近中出現(xiàn)的各種情況。和逼近理論密切

6、相關(guān)的有正交級數(shù)理論，三角級數(shù)就是一種正交級數(shù)。和逼近理論相關(guān)的還有一種理論，就是從某一類己知函數(shù)出發(fā)構(gòu)造出新的函數(shù)類型的理論，這種理論叫做函數(shù)構(gòu)造論。以實(shí)變函數(shù)作為研究對彖的數(shù)學(xué)分支就叫做實(shí)變函數(shù)論?？俍,實(shí)變函數(shù)論和古典數(shù)學(xué)分析不同，它是一種比較高深精細(xì)的理論，是數(shù)學(xué)的一個重要分支，它的應(yīng)用廣泛，它在數(shù)學(xué)各個分支中的應(yīng)用是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特征。三、Lebesgue積分與Riemann積分的比較對于定義在［a,b］上的函數(shù)f,如果它是黎曼可積的，則它勒貝格可積的，而且有相同的積分值，故我們平時解題算勒貝格積分時，一般先考慮該函數(shù)是否黎曼可積，如果可以，那么就先化為黎曼積分求解，因?yàn)槲覀冊趯W(xué)數(shù)分吋

7、，已經(jīng)熟悉了黎曼積分。對于無界函數(shù)的積分或函數(shù)在無窮區(qū)間上的積分，黎曼積分是作為廣義積分來定義的，這時要求｛EQ是單調(diào)增加的可測集合列，其并為E,若極限lim￡f(x)dx存在，貝I」f在E上勒貝格可積，且有｛x)dx=\m^f(x)dx當(dāng)Ek是矩體Ik且f(x)在每個Ik上都是有界連續(xù)函數(shù)，同時滿足lim￡f(x)dx