定積分的換元積分法和分部積分法.ppt

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1、第6章定積分§6.1定積分概念與性質(zhì)§6.2微積分基本公式§6.3定積分的換元積分法和分部積分法§6.4定積分的應(yīng)用§6.5反常積分初步目錄上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出§6.3定積分的換元積分法和分部積分法一、定積分的換元積分法.上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出由牛頓－萊布尼茨公式知道，計(jì)算定積分的方法是求它的一個(gè)原函數(shù).定理1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，函數(shù)滿足條件：(1)當(dāng)（或）時(shí)，且(2)在(或)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有（6-4）.上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出公式(6-4)叫做定積分換元公式．應(yīng)用換元公式時(shí)有兩點(diǎn)值得注意：(2)求出的原函數(shù)..上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出的上、下限分別代入中，然后相減就行了．例1計(jì)算解設(shè),則,

2、且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是量..上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出例2計(jì)算解設(shè),則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是..上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出例3計(jì)算解設(shè)，則；且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是在例3中，如果不明顯地寫(xiě)出新變量，直接用湊微分法求解，那末定積分的上、下限就不要變更．練習(xí)：P195頁(yè)：題1（3）（4）..上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出例4設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，試證：(1)(2)當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，(3)當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，證(1)由于在中，設(shè)，則..上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出故(2)當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，，因此(3)當(dāng)是偶函數(shù)時(shí)，，因此利用例4的結(jié)論，常可簡(jiǎn)化在對(duì)稱區(qū)間上的定積分的計(jì)算．..上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出例5求下列定積分解由于被積函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，由例8(1)

3、知例6試證：(為非負(fù)整數(shù))．證設(shè)，則；當(dāng)時(shí)，.上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出于是有：例7設(shè)函數(shù),求解設(shè)，則當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)．于是..上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出練習(xí)：P196頁(yè).題3（1）（2）.上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出6.3.2定積分的分部積分法利用不定積分的分部積分公式及牛頓萊布尼茨公式，即可得出定積分的分部積分公式．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，按不定積分的分部積分法，有從而得(6-5)這就是定積分的分部積分公式．.上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出例8計(jì)算解例9計(jì)算解先用換元法．令，則..上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，于是再用分部積分法，因?yàn)橐虼?.上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出例10計(jì)算解例11計(jì)算(為正整數(shù))解..上一頁(yè)

4、目錄下一頁(yè)退出由此得到遞推公式：而故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)：..上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出當(dāng)為大于1的正奇數(shù)時(shí):由例6知與有相同的結(jié)果.例如:定積分積分方法總結(jié)作業(yè)：習(xí)題6-3題1(2)(6),題2（1）（2）題3(3)(4)