實(shí)變函數(shù)教案.docx

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1、《實(shí)變函數(shù)教案》總48學(xué)時(shí)實(shí)變函數(shù)誕生于上世紀(jì)初．（法）Lebesgue創(chuàng)立Lebesgue積分．Riemann積分的對(duì)象是連續(xù)函數(shù)；Lebesgue積分的對(duì)象是可測(cè)函數(shù)，其應(yīng)用廣泛．測(cè)度積分形成后，建立了泛函分析理論．它是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一門重要課程，應(yīng)用廣泛．第一章　集　合§1.1,1.2集合表示及運(yùn)算1．集合概念集合：具有某種共性的事物的全體,記為．空集：；全集：X．元素：．如：；　　　　　　B=｛一個(gè)班級(jí)全體學(xué)生｝．2．包含與相等是指：；　稱A是B的子集．是指：．若，稱A為B的一個(gè)真子集．關(guān)系滿足

2、：(1)；(2)；(3)．3．集合的運(yùn)算并集；　交集；　若，稱A與B不相交；差集；　　余集．（畫圖示．）集合運(yùn)算性質(zhì)：(1)交換律：；(2)結(jié)合律：；(3)分配律：；(4)對(duì)偶律：．4．集族集族：X為集合，集合A的元素都是X的子集，稱A為X的一個(gè)集族．：A中所有元素的并；　　　?。篈中所有元素的交．冪集：，　X的全體子集構(gòu)成的集族．指標(biāo)集，，有集族．并：；　　　交：．如，得到集列；，．簡(jiǎn)記．5．集合序列的極限定義1.1.1.為一集列，．上限集：；下限集：．關(guān)系：．若，稱收斂．例1.令，則．收斂．例2

3、.令，則，．故發(fā)散．定理1.1.1.為一集列，則(1)有無(wú)窮多個(gè)含有x；(2)．定義1.1.2.(單調(diào)集列)單增集列：↗；　　單減集列：↘．結(jié)論：(1)若↗，則；　　　　(2)若↘，則．證：(1)；．6．集族的直積A與B的直積集；的直積集．§1.3,對(duì)等于基數(shù)1．映射（對(duì)應(yīng)）概念映射f：．　　x――原象，y――象，X――定義域．滿射：；　單射：；一一映射：滿射+單射．恒等映射，（一一映射）．若，稱f為X上的實(shí)（或復(fù)）函數(shù)．逆映射：為一一映射，定義．設(shè)，記（象）；?。ㄔ螅ɡ?．設(shè)，和分別是X上和

4、Y上的集族，則，；，(*)．(*)證：記，．，．反之，即．特征函數(shù)（示性函數(shù)）：．性質(zhì)：設(shè)，()，則(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)收斂收斂；此時(shí)有．2．集合的對(duì)等、勢(shì)對(duì)等：存在一一映射，稱A與B對(duì)等，記作或．――集合A的勢(shì)（基數(shù)）．關(guān)系“～”性質(zhì)：(i)反身性：；(ii)對(duì)稱性：；(iii)傳遞性：，．3．勢(shì)的比較若A與B的一個(gè)子集對(duì)等，記；　若A與B的一個(gè)子集對(duì)等，但A與B不對(duì)等，記．定理1.2.2.對(duì)于集合A，有．證：若，結(jié)論成立．若，則A與中由A的單點(diǎn)集構(gòu)成的子

5、集對(duì)等，故．下用反證法．假設(shè)，則存在一一映射．令．則，唯一的，使．矛盾．故．Banach引理．設(shè)，．則滿足．其中．　　（證略）定理1.2.3.(1)對(duì)于集合A，成立；　　　　(2)若，　；(3)若，　　(Berstein定理)．證(3)：由條件，存在單射及單射．由引理，．注意到，均為一一映射，　可令為．　是一一映射，　得．§1.3;1.5可數(shù)集與不可數(shù)集　　對(duì)于集合A，，規(guī)定；，．以上稱A為有限集．若，稱A為可數(shù)集（可列集），（元素互異），記．不是可數(shù)集的無(wú)限集稱為不可數(shù)集．定理1.3.1.每一無(wú)限

6、集必含有一個(gè)可數(shù)子集．證：設(shè)A為無(wú)限集．?。捎冢扇。捎?，可?。m(xù)下去，便得A的可數(shù)子集．推論．可數(shù)集的任一子集至多是可數(shù)集．證：設(shè)為無(wú)限子集，則．由Th1.3.1，．　故．定理1.3.2.設(shè)為有限集或可數(shù)集)，若，則至多為可數(shù)集；又，使，則是可數(shù)集．?。闪袀€(gè)可數(shù)集之并是可數(shù)集）．證：若，結(jié)論顯然成立．只需證明當(dāng)，且時(shí)結(jié)論成立．記，，，，．按對(duì)角線法則，有．　它是可數(shù)集．定理1.3.3.若，且存在，則是可數(shù)集．（有限個(gè)可數(shù)集的乘積集是可數(shù)集）．證：只需證明當(dāng)時(shí)結(jié)論成立．利用數(shù)學(xué)歸納法．當(dāng)時(shí)，結(jié)

7、論成立．　假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立．　取定，記，．則，由假定為可數(shù)集，故為可數(shù)集．例1．有理數(shù)集Q是可數(shù)集．證：只需證明正有理數(shù)集是可數(shù)集．　一方面，；另一方面，．而，．　同理，．例2．實(shí)數(shù)集R是不可數(shù)集．證：只需證明閉區(qū)間是不可數(shù)集．用反證法及閉區(qū)間套定理．假設(shè)是可數(shù)集．可將三等分，分點(diǎn)為c,d．區(qū)間與中至少有一個(gè)區(qū)間不含，將它記為；對(duì)重復(fù)上述對(duì)的討論，可得不含的子區(qū)間；如此以往，得閉區(qū)間列，滿足：(a)；　(b)；　(c)不含中點(diǎn)．由閉區(qū)間套定理，唯一．故．而由(3)知，．矛盾．由于是的一一映射，記．(

8、連續(xù)統(tǒng)的勢(shì))記S為無(wú)理數(shù)集，，．定理1.3.4.若，則．證：只需證明：當(dāng)時(shí)；而當(dāng)時(shí)．若，則，．　而(采用二進(jìn)制小數(shù)表示)．于是．若，則，．　每個(gè)可用二進(jìn)制無(wú)窮小數(shù)表示為，，，．，．利用對(duì)角線法則，作映射為．顯然，f是單射，于是．推論1．若，，且存在，，則．推論2．若，，，，則．簡(jiǎn)證：．　（其余略）例3.可列集的子集全體的勢(shì)為，即．證：記可列集，構(gòu)造A的冪集到二進(jìn)制小數(shù)全體的映射f．，即，定義，其中．映射是一一映射．．第二章　點(diǎn)集§2.1.度量空間,n維歐氏空間定義2.