專題五圖形與證明

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1、專題五：圖形與證明一、考點綜述考點內(nèi)容：1.了解定義、命題、定理、互逆命題、反證法的含義；2.掌握平行線的性質(zhì)定理和判定定理；3.全等和相似三角形的性質(zhì)定理和判定定理、直角三角形全等相似的判定定理；4.掌握三角形的內(nèi)角和定理和推論、角平分線和垂直平分線性質(zhì)定理及逆定理、三角形中位線定理；5.掌握等腰三角形、等邊三角形、直角三角形性質(zhì)與判定定理；6.掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性質(zhì)和判定定理；7.與圓有關的性質(zhì)和定理考綱要求：1.基本概念、三角形、四邊形與特殊四邊形等知識是推理論證的對象，要求能進行較

2、嚴格的推理證明；題目以“證明”形式存在；2.圓中的切線要求會證明；4.會用相似形或全等的知識證明或求解線段與角度的計算問題.5.會用解直角三角形的知識求解實際問題.6.能用圓心角、圓周角換算與計算，能求解弧長與扇形面積；會求圓柱與圓錐的表面積；能解決圓與解直角三角形的結合問題.7.能用反證法證明簡單的文字問題.考查方式及分值：本部分的內(nèi)容多以解答或證明說理的形式出現(xiàn)，中考壓軸的題目往往是這部分多種知識的綜合，所占分值比重比較高約占30%左右。備考策略：本部分知識是中考的重點，在復習時必須首先要掌握好各種定理和性質(zhì)，能

3、熟練記住，再進一步強化訓練，立足于課本，要一題多解、舉一反三。　二、例題精析　　例1．如圖1，已知點在的邊上，交于，交于．　?。?）求證：；　　（2）若平分，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．　解題思路：本題主要考查同學們對平行四邊形及特殊的平行四邊形的判定方法的把握．　　證明：（1）∵，　　∴，同理．　　∵，　　∴，∴．　?。?）若平分，四邊形是菱形．　　∵，，　　∴四邊形是平行四邊形，　　∵，∴，　　∴平行四邊形為菱形．　規(guī)律總結：三角形全等及平行四邊形的性質(zhì)都可以證明兩線段相等，此類題起點低，注重基礎知識及基本技

4、能的考查，考查了同學們最基本的幾何推理證明能力．　　　例2．如圖2，是⊙O的直徑，是⊙O上一點，過圓心作，為垂足，是上一點，是的中點，的延長線交于．　?。?）圖中線段、所在直線有怎樣的位置關系？寫出你的結論，并給出證明過程；　?。?）猜想線段三者之間有怎樣的數(shù)量關系？　　寫出你的結論，并給出證明過程．　解題思路：平面內(nèi)兩直線的位置關系只有平行和相交兩種，先通過觀察圖形可猜想OD∥BC，再利用圓的有關概念及性質(zhì)得證．　　解：（1）結論：．　　證明：∵是⊙O的直徑，是⊙O上一點，　　∴，即BC⊥AC．　　又OD⊥AC，∴

5、OD∥BC．　?。?）結論：．　　證明：∵OD⊥AC，∴AD=DC．　　又O為AB的中點，∴OD是△ABC的中位線．　　∴BC=2OD．　　在△ODG與△EFG中，　　∵DG=EG，∠GOD=∠GFE，∠ODG=∠FEG，　　∴．∴OD=EF．　　∴．　　∴．　　規(guī)律總結：為了使同學們對推理論證的必要性有更深刻的理解，新課程中的邏輯推理常在探究、猜想的前提下進行．本題就采用了這種方式．該題主要考查了直徑與圓周角、垂直于弦的直徑等概念之間的聯(lián)系．例3．如圖，已知⊙O的直徑AB＝2，直線m與⊙O相切于點A，P為⊙O上一動

6、點（與點A、點B不重合），PO的延長線與⊙O相交于點C，過點C的切線與直線m相交于點D．（1）求證：△APC∽△COD．（2）設AP＝x，OD＝y(tǒng)，試用含x的代數(shù)式表示y．（3）試探索x為何值時，△ACD是一個等邊三角形．解題思路：運用圓的切線的性質(zhì)、三角形的相似的判定和性質(zhì)解析：（1）∵是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線∠PAC＝∠OCD＝90°，顯然△DOA≌△DOC∴∠DOA＝∠DOC∴∠APC＝∠COD（2）由，得，（3）若是一個等邊三角形，則于是，可得，故，當時，是一個等邊三角形規(guī)律總結：認真審題，根據(jù)題目所給

7、的條件充分利用圖形的性質(zhì)及判定。例4．如圖,C為線段BD上一動點,分別過點B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,連接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,設CD=x.(1)用含x的代數(shù)式表示AC＋CE的長；(2)請問點C滿足什么條件時,AC＋CE的值最小?(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結論,請構圖求出代數(shù)式的最小值.EDCBA解題思路：代數(shù)知識與幾何知識結合在一起，在直角三角形中利用勾股定理，注意運用兩點之間線段最短。解析:(1)(2)當A、C、E三點共線時,AC+CE的值最小FEDCBA(3)如下圖所示,作BD=12

8、,過點B作AB⊥BD,過點D作ED⊥BD,使AB=2,ED=3,連結AE交BD于點C.AE的長即為代數(shù)式的最小值.過點A作AF∥BD交ED的延長線于點F,得矩形ABDF,則AB=DF=2,AF=BD=8.所以AE==13即的最小值為13.規(guī)律總結：用代數(shù)的方法來解決幾何問題，是我們常用的方法，在沒有給出未知量的情況下，巧妙的設未知數(shù)。例5．如圖