專題五圖形與證明

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1、專題五：圖形與證明一、考點(diǎn)綜述考點(diǎn)內(nèi)容：1.了解定義、命題、定理、互逆命題、反證法的含義；2.掌握平行線的性質(zhì)定理和判定定理；3.全等和相似三角形的性質(zhì)定理和判定定理、直角三角形全等相似的判定定理；4.掌握三角形的內(nèi)角和定理和推論、角平分線和垂直平分線性質(zhì)定理及逆定理、三角形中位線定理；5.掌握等腰三角形、等邊三角形、直角三角形性質(zhì)與判定定理；6.掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性質(zhì)和判定定理；7.與圓有關(guān)的性質(zhì)和定理考綱要求：1.基本概念、三角形、四邊形與特殊四邊形等知識是推理論證的對象，要求能進(jìn)行較

2、嚴(yán)格的推理證明；題目以“證明”形式存在；2.圓中的切線要求會證明；4.會用相似形或全等的知識證明或求解線段與角度的計(jì)算問題.5.會用解直角三角形的知識求解實(shí)際問題.6.能用圓心角、圓周角換算與計(jì)算，能求解弧長與扇形面積；會求圓柱與圓錐的表面積；能解決圓與解直角三角形的結(jié)合問題.7.能用反證法證明簡單的文字問題.考查方式及分值：本部分的內(nèi)容多以解答或證明說理的形式出現(xiàn)，中考壓軸的題目往往是這部分多種知識的綜合，所占分值比重比較高約占30%左右。備考策略：本部分知識是中考的重點(diǎn)，在復(fù)習(xí)時(shí)必須首先要掌握好各種定理和性質(zhì)，能

3、熟練記住，再進(jìn)一步強(qiáng)化訓(xùn)練，立足于課本，要一題多解、舉一反三?！《⒗}精析　　例1．如圖1，已知點(diǎn)在的邊上，交于，交于．　?。?）求證：；　?。?）若平分，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．　解題思路：本題主要考查同學(xué)們對平行四邊形及特殊的平行四邊形的判定方法的把握．　　證明：（1）∵，　　∴，同理．　　∵，　　∴，∴．　?。?）若平分，四邊形是菱形．　　∵，，　　∴四邊形是平行四邊形，　　∵，∴，　　∴平行四邊形為菱形．　規(guī)律總結(jié)：三角形全等及平行四邊形的性質(zhì)都可以證明兩線段相等，此類題起點(diǎn)低，注重基礎(chǔ)知識及基本技

4、能的考查，考查了同學(xué)們最基本的幾何推理證明能力．　　　例2．如圖2，是⊙O的直徑，是⊙O上一點(diǎn)，過圓心作，為垂足，是上一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，的延長線交于．　?。?）圖中線段、所在直線有怎樣的位置關(guān)系？寫出你的結(jié)論，并給出證明過程；　　（2）猜想線段三者之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？　　寫出你的結(jié)論，并給出證明過程．　解題思路：平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系只有平行和相交兩種，先通過觀察圖形可猜想OD∥BC，再利用圓的有關(guān)概念及性質(zhì)得證．　　解：（1）結(jié)論：．　　證明：∵是⊙O的直徑，是⊙O上一點(diǎn)，　　∴，即BC⊥AC．　　又OD⊥AC，∴

5、OD∥BC．　?。?）結(jié)論：．　　證明：∵OD⊥AC，∴AD=DC．　　又O為AB的中點(diǎn)，∴OD是△ABC的中位線．　　∴BC=2OD．　　在△ODG與△EFG中，　　∵DG=EG，∠GOD=∠GFE，∠ODG=∠FEG，　　∴．∴OD=EF．　　∴．　　∴．　　規(guī)律總結(jié)：為了使同學(xué)們對推理論證的必要性有更深刻的理解，新課程中的邏輯推理常在探究、猜想的前提下進(jìn)行．本題就采用了這種方式．該題主要考查了直徑與圓周角、垂直于弦的直徑等概念之間的聯(lián)系．例3．如圖，已知⊙O的直徑AB＝2，直線m與⊙O相切于點(diǎn)A，P為⊙O上一動(dòng)

6、點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），PO的延長線與⊙O相交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C的切線與直線m相交于點(diǎn)D．（1）求證：△APC∽△COD．（2）設(shè)AP＝x，OD＝y(tǒng)，試用含x的代數(shù)式表示y．（3）試探索x為何值時(shí)，△ACD是一個(gè)等邊三角形．解題思路：運(yùn)用圓的切線的性質(zhì)、三角形的相似的判定和性質(zhì)解析：（1）∵是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線∠PAC＝∠OCD＝90°，顯然△DOA≌△DOC∴∠DOA＝∠DOC∴∠APC＝∠COD（2）由，得，（3）若是一個(gè)等邊三角形，則于是，可得，故，當(dāng)時(shí)，是一個(gè)等邊三角形規(guī)律總結(jié)：認(rèn)真審題，根據(jù)題目所給

7、的條件充分利用圖形的性質(zhì)及判定。例4．如圖,C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn),分別過點(diǎn)B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,連接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,設(shè)CD=x.(1)用含x的代數(shù)式表示AC＋CE的長；(2)請問點(diǎn)C滿足什么條件時(shí),AC＋CE的值最小?(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論,請構(gòu)圖求出代數(shù)式的最小值.EDCBA解題思路：代數(shù)知識與幾何知識結(jié)合在一起，在直角三角形中利用勾股定理，注意運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短。解析:(1)(2)當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí),AC+CE的值最小FEDCBA(3)如下圖所示,作BD=12

8、,過點(diǎn)B作AB⊥BD,過點(diǎn)D作ED⊥BD,使AB=2,ED=3,連結(jié)AE交BD于點(diǎn)C.AE的長即為代數(shù)式的最小值.過點(diǎn)A作AF∥BD交ED的延長線于點(diǎn)F,得矩形ABDF,則AB=DF=2,AF=BD=8.所以AE==13即的最小值為13.規(guī)律總結(jié)：用代數(shù)的方法來解決幾何問題，是我們常用的方法，在沒有給出未知量的情況下，巧妙的設(shè)未知數(shù)。例5．如圖