淺談數(shù)形結(jié)合思想在解題中的運用

淺談數(shù)形結(jié)合思想在解題中的運用

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1、淺談數(shù)形結(jié)合思想在解題中的運用王克卓數(shù)學是研究客觀世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學,且數(shù)與形是數(shù)學的兩種表達形式,數(shù)是形的抽象概括,形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來,通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”,使得復雜問題簡單化,抽象問題具體化,使抽象思維和形象思維相結(jié)合,通過圖形的描述、代數(shù)的論證來研究和解決數(shù)學問題的一種數(shù)學思想方法。顯然數(shù)形結(jié)合,不是兩者簡單的堆砌,而是有機的結(jié)合,“數(shù)”具有精確性定特征,它可以闡明“形”的某些屬性,并且可以通過運算法則、公式進行運算,比較具體(雖然有時卻比較繁復),

2、“形”具有幾何的直觀性,它也可以表示數(shù)之間的某些關(guān)系,“形”可以通過邏輯推理得到一些結(jié)果,其推理過程較簡捷(但可能有時比較抽象)。但兩者結(jié)合,各取所長,則往往威力巨大,因此華羅庚教授說:“數(shù)缺形時少直覺,形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事非。”數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學新課程所滲透的重要思想方法之一,高中數(shù)學新教材之中的每一章節(jié)內(nèi)容都有以數(shù)形結(jié)合的問題形式出現(xiàn),能很好地培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)形結(jié)合思想。新教材中滲透這一方法,對發(fā)展學生的解題思路、尋找最佳解題方法明顯帶有指導性作用,通過對問題進行正確的分析、比較、合理聯(lián)想,訓練

3、學生思維、拓寬視野,逐步形成正確的解題觀;還可在學習中引導學生對抽象概念給予形象化的理解和記憶,提高數(shù)學認知能力,并提升對現(xiàn)實世界的認識能力,從而提高數(shù)學素養(yǎng),不斷完善自己。下面舉例說明數(shù)形結(jié)合思想在各模塊中的應(yīng)用。一、利用數(shù)形結(jié)合解決集合問題對于集合中各種概念、運算的理解,直接從自然語言和符號語言上理解,往往難以搞清其本質(zhì);若借助簡單的韋恩圖表示兩集合間的關(guān)系,可使問題變得直觀、具體,易于認清集合的特征,便于準確、快速地解決問題。這就是8數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,顯然準確地將集合問題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系是關(guān)鍵。解題時常借助韋恩圖或用數(shù)

4、軸、簡單函數(shù)的圖像等形來集合問題,往往可以把問題中的條件直觀化、形象化,從而使原題靈活、簡捷、準確地獲解。例1 若為全集,,且,則下列結(jié)論中正確的是。①;②;③;④(提示:由韋恩圖可以很容易知道答案為③。)二、函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合函數(shù)是貫穿高中數(shù)學知識的主要內(nèi)容,它的地位和作用非常重要,數(shù)形結(jié)合思想在解決函數(shù)問題時尤為重要。函數(shù)的圖像是表示函數(shù)關(guān)系的方式之一,它是從“形”的方面來刻畫函數(shù)的變化規(guī)律,形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì),為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性,它是探求解題途徑,獲得答案的重要工具。利用一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函

5、數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本函數(shù)的圖像來解決代數(shù)問題,有利于培養(yǎng)學生的轉(zhuǎn)化聯(lián)想能力、觀察能力,如利用某些函數(shù)表達式所具有的特征,與幾何中的距離、直線的斜率、線段的長度(兩點間的距離)等聯(lián)系在一起,構(gòu)造幾何模型解決問題,培養(yǎng)學生思維的深刻性并提高創(chuàng)造性。例2 設(shè)函數(shù),若,則的取值范圍是。分析:本題主要考查函數(shù)的基本知識,利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式以及借助數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力。8圖1解:如圖1,在同一坐標系中,作出函數(shù)的圖像和直線,它們相交于和兩點。由,得或。例3 方程解的個數(shù)為。分析:畫出函數(shù)與的圖像(如圖2)。注意兩個圖

6、像的相對位置關(guān)系。圖2(答案:3個。)顯然,通過上兩題看出,函數(shù)的解析式和圖像的實質(zhì)是相同的,在解題時經(jīng)常要相互轉(zhuǎn)化,尤其是解決較為繁瑣的(如方程解的個數(shù)、分類討論、求參數(shù)的范圍等)問題時,更要充分發(fā)揮圖像的直觀作用,把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題,實現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)換。但轉(zhuǎn)換時,要注意方式、方法,如方程f(x)=g(x)的解的個數(shù)可以轉(zhuǎn)換為函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖像的交點個數(shù)問題;不等式f(x)>g(x)的解集可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)的圖像位于函數(shù)y=g(x)的圖像上方的那部分點的橫坐標的集合。三、利用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)列問題數(shù)

7、列可看成以為自變量的函數(shù),等差數(shù)列可看成自然數(shù)的“一次函數(shù)”,前項和可看成的無常數(shù)項的“二次函數(shù)”,等比數(shù)列可看成自然數(shù)的“指數(shù)函數(shù)”,在解決數(shù)列問題時可借助相應(yīng)的函數(shù)圖像來解決。例4 若數(shù)列為等差數(shù)列,,求。如圖3,8圖3分析:不妨設(shè),由于等差數(shù)列中,關(guān)于的圖像是一條直線上均勻排開的一群孤立的點,故三點共線,設(shè),由已知,得三點共線。則,即,得,即。四、不等式與解析幾何中的數(shù)形結(jié)合在解析幾何中,借助直線、圓及圓錐曲線在直角坐標系中圖像的特點,可從圖形上尋求解題思路,啟發(fā)思維,難題巧解。例5 曲線與直線有兩個交點時,實數(shù)的取值

8、范圍是。分析:曲線的圖形是以為圓心,以1為半徑的圓在軸上方(包括軸)的部分。直線是過定點、斜率為的直線。在同一直角坐標系中,分別作出它們的圖形,觀察圖4,符合要求的直線介于直線之間(包括,不包括),其中與半圓相切,過原點。通過計算容易求得的斜率為1,的斜率為。所以。8圖4例6 如果實數(shù)滿足

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